Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 48

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 230 >> Следующая

§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП

117

Наконец, мы должны рассмотреть еще случай сХ = — k. В этом предположении многочлен f(s) допускает корень S = — 1; для других же двух корней могут представиться различные случаи. Именно, S = — 1 прежде всего может быть тройным корнем. Если, далее, он является двойным корнем, то третий корень может попасть как внутрь, так и вне интервала от—1 до-]-1. Наконец, если s =—1 есть простой корень, то для других двух корней могут представиться все возможные случаи, т. е. они могут быть мнимыми, или совпадающими между собой (лежащими внутри или вне интервала), или действительными и различными (один внутри, другой вне этого интервала, или оба вне интервала).

Для последующего необходимо изложить вкратце все случаи, в которых соответственно действительным решениям уравнения (48) многочлен /(s) может иметь кратные корни в интервале от s = — 1 до S = +1- Из предыдущего следует, что, за исключением частного случая ск = — k, для / (s) в этом интервале (если включить в него / = —{— 1) могут встретиться только кратные корни второго порядка, изолированные в том смысле, что во всякой другой точке интервала многочлен будет отрицательным.

Если, наоборот, ск = — k, то для / (s) в интервале от s = — 1 до s = 1 могут быть:_

а) тройной корень, и он обязательно будет равен — 1;

б) или, помимо простого корня S = — 1, двойной корень внутри интервала от —1 до +1; этот двойной корень, как легко убедиться на основании знака f(s), при очень большом по абсолютной величине s будет необходимо изолированным в только что разъясненном смысле;

в) или двойной корень S = — 1, изолированный в обычном смысле;

г) или, наконец, двойной корень S = —¦ 1, вместе с другим корнем (простым) внутри интервала от — 1 до -f-1.

31. Случай простых корней. Нутация гироскопической оси. Приложим теперь общие результаты § 6 гл. I, начиная со случая двух простых корней S1, S2 (принадлежащих интервалу от —1 до -}-1). При этом предположении функция s = cos 0 с возрастанием времени неопределенно долго колеблется между двумя крайними значениями S1 и S2; по отношению к гироскопу это означает, что ось описывает в пространстве коническую поверхность, которая все время остается заключенной между двумя конусами вращения с вертикальной осью и с углами при вершинах

20j = 2 arc Coss1, 202 = 2 arc cos S2

Эта коническая поверхность поочередно касается то одного, то другого конуса (нутация гироскопической оси).

Чтобы определить движение гироскопической оси, будем рассматривать движение так называемой вершины гироскопа (п. 27), т. е.
118

ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

конца V вектора OV = k, в котором прямая OG, проходящая через центр тяжести, пересекает сферу с центром О и радиусом 1.

Траектория (сферическая) точки V называется траекторией вершины', из того, что было сказано выше, следует, что в случае, который мы здесь рассматриваем, она будет вся заключена между двумя параллелями широты (южной, т. е. измеряемой от южного полюса, или, еще точнее, нижней, поскольку мы приняли ось Oz направленной вниз): Q1 = arccos S1 и Ь2 = arccos S2 и идет попеременно от одной к другой. В силу нашего соглашения, что 0 = arccos s является южной широтой, из этих двух крайних параллелей будет выше та, которая соответствует меньшему корню S1.

Теперь интересно, в частности, знать, каково будет расположение траектории вершины по отношению к двум крайним параллелям в тех местах, где эта траектория имеет с ними общие точки. Мы ограничимся здесь предположением, что вершина движется по сфере между двумя параллелями в собственном смысле, т. е. исключим оба случая, когда или S1= — 1 (и сА = — k), или S2 = 1 (и ск = k), т. е. когда та или другая параллель сводится к одной точке (северный или южный полюс сферы).

На поставленный таким образом вопрос можно ответить, отыскав выражение угла а, который касательная к траектории вершины в любой своей точке образует с меридианом, проходящим через нее, т. е. угла а скорости вершины с единичным вектором и, касательным к местному меридиану (направленным безразлично в ту или другую сторону). Этот единичный вектор и, как перпендикулярный к вектору k и параллельный вертикальной плоскости (х, k), будет параллелен составляющей вектора х, которая расположена в экваториальной плоскости гироскопа, т. е. равен ^2/; поэтому можно написать

и = и4±М = ^±М. (49)

Vl-ТІ Vi-S2

С другой стороны, скорость вершины V, свободного конца единичного вектора k, приложенного в О, определяется уравнением

^ = wX*, (50)

так что квадрат соответствующей величины есть p2-\-q2.

Так как по определению скалярного произведения имеем

а 1 (dk \а

cosa=7^U'ttj

\dt/

то достаточно принять во внимание равенства (49), (50) и третье из уравнений (35'), чтобы заключить, что
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП

119

Заметив это, рассмотрим один из моментов времени, когда вершина будет находиться на той или другой крайней параллели. В этот момент производная 5 исчезает, что соответствует максимуму или минимуму s. Поэтому если вспомним, что предположение S1 — — 1 или S2 = 1 исключено, и, кроме того, предположим временно, что в рассматриваемый момент р и q не равны одновременно нулю, то увидим на основании формулы (51), что cos а исчезает, а это означает, что траектория вершины, вообще говоря, будет касательной к крайним параллелям в точках, в которых она попеременно достигает их (фиг. 19).
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed