Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Линия действия единственного импульса, способного остановить тело в этом случае, совпадает с осью удара (пп. 12 и 15) относительно оси а. Изящное систематическое исследование о распределении осей а и b и о соотношении между ними было выполнено (в 1881г.) Бельтрами, (В. Beltrami, Sulla teoria degli assi di rotazione, сочинения, т. III, стр. 323—344).
9. Если у свободного твердого тела, находящегося в каком-нибудь движении, внезапно остановить одну точку О, то последующее движение может быть только вращением вокруг О, так что скорости отдельных точек должны, вообще говоря, испытать резкие изменения. С точки зрения теории движения под действием мгновенных сил важно представлять явление, как происходящее от одного-единств енно го импульса, приложенного в точке О. Прямой способ для определения угловых скоростей после удара будет состоять в приравнивании результирующих моментов количеств движения до удара и после удара, взятых относительно точки О. Предоставляя читателю идти этим путем, укажем здесь другой путь, который, может быть, более удобен, когда представляет интерес определить также и импульс /, а с другой стороны, желательно ввести только характеристики, относящиеся к центру тяжести (массу и кинематические характеристики). Если мы введем этот неизвестный импульс I в виде вспомогательного элемента, то легко видеть, что состояние движения после удара можно определить, присоединяя к основным уравнениям кинематическое условие, что скорость точки О после удара равна нулю, и применяя при этом обозначения п. 8; мы будем иметь тогда
т Д®0 = /, ДК — QO • /,
а кинематическому условию V+ = 0, выражая V* посредством основной формулы кинематики неизменяемых систем, можно придать вид
Av0 = — ®о" — »+ • GO.
Исключая / и Д®0 из трех полученных таким образом уравнений, мы придем к равенству
ДК+тОО ¦ N" + <*+ •~СО\ = 0.,
Если вместо К подставить его выражение а (») посредством гомографии инерции относительно центра тяжести и применить формулу двойного векторного произведения, то это равенство примет вид
о (Д») -|- mGO ¦ Vo~
+ mOO2»+ - т [GO ¦ »+]00 = 0; (2)
это уравнение однозначно определяет вектор »+ на основании данных задачи-
К одному интересному следствию мы придем, предполагая, что состояние движения до удара представляет собой вращение вокруг перманентно# оси,
УПРАЖНЕНИЯ
521
проходящей через центр тяжести тела (гл. VIII, п. 12) и что точка О принадлежит соответствующей главной плоскости, перпендикулярной к оси. или,
другими словами, что вектор GO перпендикулярен к
В этом случае оправдывается известное положение, что новая ось вращения будет параллельна первоначальной, т. е. вектору Для того чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что если Ar есть единичный вектор, направленный по вектору то уравнение (2), если положить »+ = гАг, сведется к скалярному уравнению, пригодному для определения неизвестной проекции г вектора »+ на направление единичного вектора к (т. е. на направление Действительно, если С есть главный центральный момент инерции относительно первоначальной перманентной оси вращения, то имеем о (До») = С (г—ш-) Ar,
а так как, по предположению, Co” = 0, GO -»+ =0, то уравнение (2) приводится к виду
[С (г — + mr GOi] Ar = О,
откуда
Сю ~
Г = C+mGO*’
10. Свободная однородная квадратная пластинка равномерно вращается вокруг своей диагонали AC. Показать, что если внезапно закрепить одну из двух других ее вершин В или D, то пластинка (ср. предыдущее упражнение) начнет вращаться вокруг оси, параллельной первоначальной и проходящей через эту вершину, с угловой скоростью, равной одной седьмой части угловой скорости до удара.
11. Применить уравнения п. 10 к однородному стержню OA длины I и массы т (С = тР/12), к которому в точке А приложен импульс /, перпендикулярный к OA, и проверить, что сама точка А испытывает изменение скорости, геометрически равное Al/т. Найти для стержня положение центра удара (ср. пп. 14, 15).
12. В свободном твердом теле, находящемся в каком-нибудь движении внезапно закрепляется ось а (приспособлениями, уточнять которые здесь нет необходимости, потому что их можно заменить импульсами, приложенными в точках оси а). Для того чтобы найти угловую скорость <о+ вращения вокруг оси а после удара (на оси нужно выбрать по желанию положительное направление), достаточно выразить, что момент количеств движения твердого тела относительно этой оси не изменяется. До удара он имеет величину
1*« = {AT +GP X <?}•«,
где через а обозначен единичный вектор оси а, через P — произвольная точка этой прямой, через Q — результирующая и через К— результирующий момент количеств движения относительно центра тяжести G до удара. Имеем, следовательно,
ГДе 3 есть момент инерции твердого тела относительно оси а, т. е.
з = Aa2 + Bf + c-t* + IGPXaf;
здесь А, В, С и а, р, у (направляющие косинусы и) относятся к главным центральным осям инерции,
522
ГЛ. ХІТ. ТЕОРИЯ УДАРА
13. Твердое тело вращается вокруг некоторой точки О. В некоторый заданный момент, когда угловая скорость твердого тела равна внезапно закрепляется некоторая прямая тела, проходящая через О (посредством импульсов, приложенных в одной или нескольких точках этой прямой), в силу чего, естественно, движение после удара сведется к вращению вокруг оси а. Проверить, что угловая скорость около оси а, ориентированной в произвольную сторону, будет
