Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
_ ^1M1 -|- AtIO2 Ai + At ’
где At, At — моменты инерции тел относительно оси. Потеря живой силы (сравнить с потерей, которая имеет место при центральном и прямом ударе совершенно упругих тел и вычислена в п. 6) будет равна
-4Г= т ягта
17. Гибкая и нерастяжимая нить имеет один неподвижный конец А, а другой конец привязан к некоторой точке О поверхности твердого тела S.
Предположим, что нить не натянута и что твердое тело падает с начальной скоростью или из состояния покоя.
В момент, когда нить натянется, произойдет внезапное изменение в состоянии движения тела S и последующая потеря живой силы, выражению которой можно придать простой вид.
Для этой цели удобно исходить из общей формулы (19) п. 9, дающей потерю живой силы —Д T в функции прямо приложенных импульсов. Для настоящего случая надо заметить, что в момент, когда нить натягивается, твердое тело испытывает в точке О импульс с заранее неизвестной величиной /, но направленный, очевидно, по нити от О к А.
Такой импульс выражается вектором In, где п есть единичный вектор,
направленный по OA.
Система внешних импульсов, которой подвергается твердое тело, сводится к единственному импульсу In, приложенному в О. Благодаря этому упомянутая формула (19) дает
- Д7= —1 / {п ¦ (V+ + *“) + [GOXn] • (»+ + »-)}.
Ho в силу основной формулы кинематики неизменяемых систем, скорость V точки О в любой момент выражается в виде
K = *0 + »XGO.
УПРАЗДНЕНИЯ
525
Отсюда естественно, как в п. 17 (формула 31), следует
_Ar=_-^/(V+ + V-)t
где Fn= V-n есть проекция V на направление нити.
В силу нерастяжимости нити эта проекция будет уничтожена ударом, гак как V+ = 0. Естественно, что V~ , как обычно, нужно считать данной величиной; можно добавить, что она необходимо будет отрицательной, так как в момент, когда нить становится натянутой, скорость (до удара) точки О должна соответствовать некоторому удалению точки А и, следовательно,
образовывать тупой угол с вектором OA или с я.
Остается вычислить /, для чего достаточно присоединить условие V+ = 0 к основным уравнениям
Д®0 = -L- tl, Aa = h~l(OQ‘n).
Составляя из этих выражений величину
ДУ = Дфо + Дм-00 и затем умножая скалярно на я и принимая во внимание, что V+ = 0, найдем
где для краткости положено
-I=-U-I (Об ¦ п) • а"1 (OG • я).
[а т ' '
Коэффициент 1/|а при I полезно выразить в явной форме способом, аналогичным тому, которым мы пользовались в п. 17.
Если отнести к главным центральным осям инерции Gxyz и обозначить через х, у, г координаты точки О, через а, р, -у направляющие косинусы единичного вектора я, то получим
1 _ 1 і (УТ — г№ і (г“ — *ї)а і (jcP-Уа)2
у. ~ т~г А В ^ С
При этом значении коэффициента j* для потери живой силы мы найдем окончательное выражение
-дг=-ііл(у-я.
18. Импульсивное движение двух тел, соединенных шарниром в некоторой точке О. Пусть S, S' — два твердых тела, G, G' — их центры тяжести и т, т' — соответствующие массы. Изменения кинематических характеристик движения данных тел под действием приложенных импульсов можно определить, прибегая для каждого из тел к основным уравнениям (с полюсом в соответствующем центре тяжести) и вводя в виде вспомогательного неизвестного реактивный импульс / тела S' на S, которому, естественно, соответствует импульс — / тела S на S'. В силу этого будем иметь пятнадцать неизвестных (т. е. изменения проекций двух
пар характеристических векторов данных твердых тел и три проекции
импульса /); для того чтобы сделать определенной задачу, достаточно присоединить к двум парам основных уравнений, относящихся к S и S' (которые дают двенадцать скалярных уравнений), три дальнейших уравнения, выражающих то, что внезапное изменение вектора скорости точки О будет
526
ҐЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
одним и тем же, будет ли эта точка отнесена к S или к S'. Можно избежать введения и последующего исключения вспомогательной величины /, прямо принимая за полюс в обоих телах точку О. В силу этого подлежащие определению неизвестные можно свести к изменениям До», Д«г угловых скоростей тел S, S' и к изменению Д® скорости v точки О. Эти три неизвестных вектора будут связаны такими же векторными уравнениями, не зависящими от /, к которым мбжно придти следующим образом.
Прежде всего, применяя первое основное уравнение (17) к системе двух твердых тел S и S', получим уравнение
тД®0 + т ДСц = R-|-R', (3)
где v0, V0 обозначают скорости двух центров тяжести G, G', a R, R' — результирующие импульсов, прямо приложенных к двум телам (за исключением, конечно, реактивных импульсов / тела S' на S и — / тела S на S'). В силу основной формулы кинематики неизменяемой системы имеем
Co=® — о» X GO. vo = V—«» XGO (4)
откуда, исключая V0 и из уравнения (3), мы получим первое из упомянутых уравнений в виде
(т 4- т.') Д® — ягДо» X GO — m'Am' X G'О = R-J-R'. (3')
Два других уравнения получатся из второго основного уравнения, написанного для каждого тела отдельно. Выбрав за полюс моментов для обоих тел точку О и обозначив через К, К' моменты количеств движения обоих тел относительно О, через М, M' результирующие моменты относительно той же точки импульсов, прямо приложенных соответственно к ShS', будем иметь
