Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 208

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 230 >> Следующая


Г = 2s3 G + ...

Так как было доказано, что для состояния движения после удара функция G имеет наименьшее значение, то достаточно применить к предыдущему выражению Г рассуждения, аналогичные рассуждениям п. 3 предыдущей главы, чтобы заключить, что принцип наименьшего [принуждения сохраняет свое значение также и для импульсивного движения.

25. Следствие из теоремы Робена. Теорема Кельвина. Вернемся к теореме Робена и предположим, в частности, что прямо приложенных импульсов нет, т. е. что явление происходит исключительно от внезапного введения связей (отвердение, закрепление точки или оси, наложение заданных скоростей на некоторые точки и т. д.). Выражение для функции G сведется в этом случае к виду

N

(Vi-vrf,

так что среди всех движений, совместимых со связями, состояние движения после удара будет (їТ^ичаться тем, что для этого движения
§ 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ИМПУЛЬСИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

505

живая сила, происходящая от резких изменений скорости (живая сила приобретенных скоростей) будет иметь наименьшее значение.

Еще более частное, но более наглядное предложение мы имеем в так называемой теореме Кельвина. Мы придем к этой теореме, предполагая, что при отсутствии прямо приложенных импульсов система находится первоначально в покое (vj = 0), а вводимые внезапно добавочные связи состоят в наложении на некоторое число точек известных заданных скоростей (v* = Vi), конечно, совместимых с другими связями (49), которые наДо учитывать.

В этом случае функция G будет равна живой силе, которую система будет иметь в результате указанного наложения скоростей, и мы приходим таким образом к теореме: живая сила для действительного состояния движения, следующего за наложением связей, будет наименьшей по сравнению с живой силой во всяком другом состоянии движения, совместимом со связями (в число которых включены и связи, вызывающие внезапное резкое изменение скоростей).

26. Обратимые связи. Теорема Карно 1J. В более общем предположении линейные уравнения (49) связей не являются однородными; типичный пример этого мы имели в связях, соответствующих наложению скоростей и рассмотренных в теореме Кельвина (предыдущий параграф). Ho и в случаях более обыкновенных и, в частности, когда речь идет о голономных или неголономных связях, не зависящих от времени, уравнения (49) не будут иметь правой части, так что вместе со всяким состоянием движения, совместимым с указанными связями, связи допускают и прямо противоположное движение. По этой причине связи, выражаемые линейными и однородными уравнениями, называются обратимыми.

Если все связи, которым подчинена система, обратимы, то оправдывается известное обстоятельство, что уравнения (49) будут тождественны, за исключением обозначения неизвестных, с уравнениями (50), так что всякое состояние движения, совместимое CO связями, соответствует некоторому виртуальному перемешению и обратно; общее уравнение импульсивного движения можно написать в виде

N

2 (/< — MiAvi) -Vi = O, (48')

«=1

*) Лазарь Карно родился в Нолей (Кот-д’Ор) в 1753 г., умер в Магдебурге в 1823 г. Был организатором войск Французской республики во время Конвента; пользовался большим почетом и занимал высшие должности также и в наполеоновский период; умер в изгнании. Был одним из первых ученых, занимавшихся приложениями механики к машинам, а также проективной геометрией. Широкую известность получили также и его Reflexions sur Ia metaphysique du Calcul infinitesimal, первое издание которых вышло в 1797 г.
506

ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА

где через Vt обозначены скорости в любом состоянии движения, совместимом CO связями.

Если, в частности, мы припишем скоростям v. значения vt, соответствующие действительному состоянию движения после удара, и, предполагая прямо приложенные импульсы равными нулю, примем во внимание тождество

' К = «T — 'K=Y (К )2 — Y )3 + Y ^

то из уравнения (48') получим

— т{«)2 + mi (vi)2 = ^imi W2’

і = I i = l і = I

или, обозначая через T живую силу системы и через 0 живую силу, соответствующую внезапным изменениям скоростей,

— Д Г=0.

Это равенство выражает следующую теорему Карно (см. п. 6): для всякой материальной системы, подчиненной связям без трения и обратимым, в которой без наличия прямо приложенных импульсов происходят резкие изменения скоростей, всегда будет иметься общая потеря живой силы, равная живой силе, соответствующей этим изменениям скоростей.

27. Случай взрыва. В этом случае, по крайней мере, на некоторые материальные элементы системы действуют импульсы внутренней природы, попарно взаимнопротивоположные; эти импульсы вызывают большей частью разрушение элементов, на которые они действуют. Ho так как в состоянии движения до взрыва разрушение еще не имело места, то соответствующая работа импульсов

N

2 IiVi

г = 1

необходимо будет равна нулю, так как она состоит из слагаемых попарно равных по абсолютной величине и с противоположными знаками; может быть, не бесполезно заметить, что того же нельзя сказать об аналогичной работе, соответствующей состоянию последующего движения, так как элементы, разорванные разрушением, к которым будут приложены два любых прямо противоположных импульса, будут (вообще говоря) иметь различные скорости.
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed