Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Г = 2s3 G + ...
Так как было доказано, что для состояния движения после удара функция G имеет наименьшее значение, то достаточно применить к предыдущему выражению Г рассуждения, аналогичные рассуждениям п. 3 предыдущей главы, чтобы заключить, что принцип наименьшего [принуждения сохраняет свое значение также и для импульсивного движения.
25. Следствие из теоремы Робена. Теорема Кельвина. Вернемся к теореме Робена и предположим, в частности, что прямо приложенных импульсов нет, т. е. что явление происходит исключительно от внезапного введения связей (отвердение, закрепление точки или оси, наложение заданных скоростей на некоторые точки и т. д.). Выражение для функции G сведется в этом случае к виду
N
(Vi-vrf,
так что среди всех движений, совместимых со связями, состояние движения после удара будет (їТ^ичаться тем, что для этого движения
§ 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ИМПУЛЬСИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
505
живая сила, происходящая от резких изменений скорости (живая сила приобретенных скоростей) будет иметь наименьшее значение.
Еще более частное, но более наглядное предложение мы имеем в так называемой теореме Кельвина. Мы придем к этой теореме, предполагая, что при отсутствии прямо приложенных импульсов система находится первоначально в покое (vj = 0), а вводимые внезапно добавочные связи состоят в наложении на некоторое число точек известных заданных скоростей (v* = Vi), конечно, совместимых с другими связями (49), которые наДо учитывать.
В этом случае функция G будет равна живой силе, которую система будет иметь в результате указанного наложения скоростей, и мы приходим таким образом к теореме: живая сила для действительного состояния движения, следующего за наложением связей, будет наименьшей по сравнению с живой силой во всяком другом состоянии движения, совместимом со связями (в число которых включены и связи, вызывающие внезапное резкое изменение скоростей).
26. Обратимые связи. Теорема Карно 1J. В более общем предположении линейные уравнения (49) связей не являются однородными; типичный пример этого мы имели в связях, соответствующих наложению скоростей и рассмотренных в теореме Кельвина (предыдущий параграф). Ho и в случаях более обыкновенных и, в частности, когда речь идет о голономных или неголономных связях, не зависящих от времени, уравнения (49) не будут иметь правой части, так что вместе со всяким состоянием движения, совместимым с указанными связями, связи допускают и прямо противоположное движение. По этой причине связи, выражаемые линейными и однородными уравнениями, называются обратимыми.
Если все связи, которым подчинена система, обратимы, то оправдывается известное обстоятельство, что уравнения (49) будут тождественны, за исключением обозначения неизвестных, с уравнениями (50), так что всякое состояние движения, совместимое CO связями, соответствует некоторому виртуальному перемешению и обратно; общее уравнение импульсивного движения можно написать в виде
N
2 (/< — MiAvi) -Vi = O, (48')
«=1
*) Лазарь Карно родился в Нолей (Кот-д’Ор) в 1753 г., умер в Магдебурге в 1823 г. Был организатором войск Французской республики во время Конвента; пользовался большим почетом и занимал высшие должности также и в наполеоновский период; умер в изгнании. Был одним из первых ученых, занимавшихся приложениями механики к машинам, а также проективной геометрией. Широкую известность получили также и его Reflexions sur Ia metaphysique du Calcul infinitesimal, первое издание которых вышло в 1797 г.
506
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
где через Vt обозначены скорости в любом состоянии движения, совместимом CO связями.
Если, в частности, мы припишем скоростям v. значения vt, соответствующие действительному состоянию движения после удара, и, предполагая прямо приложенные импульсы равными нулю, примем во внимание тождество
' К = «T — 'K=Y (К )2 — Y )3 + Y ^
то из уравнения (48') получим
— т{«)2 + mi (vi)2 = ^imi W2’
і = I i = l і = I
или, обозначая через T живую силу системы и через 0 живую силу, соответствующую внезапным изменениям скоростей,
— Д Г=0.
Это равенство выражает следующую теорему Карно (см. п. 6): для всякой материальной системы, подчиненной связям без трения и обратимым, в которой без наличия прямо приложенных импульсов происходят резкие изменения скоростей, всегда будет иметься общая потеря живой силы, равная живой силе, соответствующей этим изменениям скоростей.
27. Случай взрыва. В этом случае, по крайней мере, на некоторые материальные элементы системы действуют импульсы внутренней природы, попарно взаимнопротивоположные; эти импульсы вызывают большей частью разрушение элементов, на которые они действуют. Ho так как в состоянии движения до взрыва разрушение еще не имело места, то соответствующая работа импульсов
N
2 IiVi
г = 1
необходимо будет равна нулю, так как она состоит из слагаемых попарно равных по абсолютной величине и с противоположными знаками; может быть, не бесполезно заметить, что того же нельзя сказать об аналогичной работе, соответствующей состоянию последующего движения, так как элементы, разорванные разрушением, к которым будут приложены два любых прямо противоположных импульса, будут (вообще говоря) иметь различные скорости.