Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 211

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 230 >> Следующая


Мы не будем здесь развивать дальше соображений Майера. Точно так же, не излагая, мы ограничимся лишь напоминанием, что Аль-манси2), рассматривая, в частности, случай однородных связей (bk = Cj = 0), вывел различные важные свойства импульсивного движения из одного только символического соотношения (62), независимо от всяких дальнейших предположений.

§ 6. Теорема Вольтерра

32. Закончим изложением одного существенного с математической точки зрения дополнения, которое можно внести в теорию импульсивного движения в случае систем CO связями, для которых имеет

!) A. M а у е г, Zur Regulirung der Stosse и т. д., Leipzig. Berichte, 1899, стр. 245—264.

2) Almansi, Sulla teoria degli impulsi, Rend., Lincei, сер. 5°, т. 25, 19162; стр. 410—416.
§ 5. ТЕОРЕМА ВОЛЬТЕРРА

513

место теорема живых сил. Речь идет о той теореме Вольтерра, которую мы уже упоминали в п. 1 этой главы !).

Обозначив, как обычно, через Fi силу, прямо приложенную к любой точке Pi (і = 1, 2, ..., N) заданной материальной системы S, предположим, что связи (как это бывает, когда речь идет о связях без трения и не зависящих от времени) таковы, что имеет место теорема живых сил

где dL обозначает работу, совершенную за элемент времени dt только активными силами (гл. V, п. 30), т. е.

N

Рассматривая лишь очень короткий промежуток времени от t0 до t0 х, в течение которого некоторые или даже все силы Fi имеют характер ударных сил, обозначим через

соответствующие импульсы. Помимо существования этих пределов, допустим, что во всякий момент t, заключенный между I0 и t0 -\-1, даже при стремлении х к нулю, остаются конечными интегралы

Следует заметить, что это обстоятельство будет наверное вытекать, как необходимое следствие, из предположения существования пределов (64) всякий раз, когда ударные силы Fi при стремлении х к нулю неограниченно возрастают без колебаний, т. е. в конце концов при х, достаточно малом, образуют со всяким неизменным направлением всегда острые или всегда тупые углы (включая в обоих случаях предельный случай прямого угла). Удары, удовлетворяющие этому дополнительному условию, мы'будем называть неколебательными.

Из допущенного предположения следует существование некоторого конечного и определенного числа С такого, что в любой момент t между tQ И -J-X будем иметь

1J Рассуждения, которые мы здесь воспроизводим, были изложены Вольтерра в его Lezioni di Meccanica razionale, читанных в Пизанском универен* тете (1893), которые были изданы только в литографированном виде.

33 Зак. 2368. Т. Леви-Чнвита в У. Амальдв

dT — dL,

(63)

dL = ^lPi- dPt.

t

j Fi^t (і= I, 2, ..., N). (65)
514

ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА

Заметив это, проинтегрируем уравнение (63) от t0 до t, псУсле чего получим

и обозначим через Л максимум абсолютной величины, достигаемой функцией L при изменении t от до f0-f-1.

Этот максимум А на основании наших предположений есть некоторая функция от "с, необходимо конечная, пока х остается отличным от нуля; покажем прежде всего, что эта функция остается меньше некоторого постоянного количества, а потому остается конечной и тогда, когда т стремится к нулю.

Из уравнения (63) мы имеем

то и каждое из составляющих ее существенно положительных слагае-

и, Следовательно, обозначая через т полную массу системы, и подавно

скалярного произведения двух векторов всегда меньше или, самое большее, равна произведению абсолютных величин сомножителей, тотчас же выводим

где

(63')

(67)

г<т0+л,

и так как живая сила T определяется из соотношения

AT

три

мых тр*(2 будет оставаться меньше, чем T0-J-A. Поэтому для каждой точки Pi будем иметь

(68)

Теперь из выражения (67) для L, замечая, что абсолютная величина

и, следовательно, в силу соотношений (66), (68),
§ 6. ТЕОРЕМА ВОЛЬТЕРРА

515

Это неравенство справедливо для всякого момента, заключенного между и /g-j-t, а потому, в частности, и тогда, когда \L\ достигает своего максимального значения А; отсюда имеем

Л<С лГ2(Уп + А^

' г т

или же

A3 ^ 2С2 7о + Л ' т

Если к обеим частям этого соотношения прибавим по 2Г0 и заметим, что количество, которое таким образом получится в левой части, т. е.

Л2 + 27-0(Л+Г0) (A -H ^p)2 + Tp

Л “Н 7о Л -f- Tg ’

будет больше, чем A-f- То, то придем к соотношению

А + Г0<-^-+2Г0, (69)

или к соотношению

Л< ^ГІГГ°> (69')

которое показывает, что при каком угодно значении г (лишь бы, конечно, оно было достаточно мало) А остается меньше некоторой постоянной величины.

С другой стороны, соотношение (69) позволяет подставить

вместо (68) соотношение

+ ^ (70)

и если обозначим через ДPi перемещение, которое испытывает точка Pi от момента t0 до момента і между і0 и + т, т. е. если положим

t

AP4= (г = I, 2, ..., N)

и обозначим через Si верхний предел длины этого перемещения ДPi при изменении t OT tQ ДО то будем иметь

to+-C

< J vtdt ’(г = 1,2, ...,ДО

и, следовательно, на основании уравнений (70)

+ (і = 1,2,---------------АО- (71)
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed