Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем здесь развивать дальше соображений Майера. Точно так же, не излагая, мы ограничимся лишь напоминанием, что Аль-манси2), рассматривая, в частности, случай однородных связей (bk = Cj = 0), вывел различные важные свойства импульсивного движения из одного только символического соотношения (62), независимо от всяких дальнейших предположений.
§ 6. Теорема Вольтерра
32. Закончим изложением одного существенного с математической точки зрения дополнения, которое можно внести в теорию импульсивного движения в случае систем CO связями, для которых имеет
!) A. M а у е г, Zur Regulirung der Stosse и т. д., Leipzig. Berichte, 1899, стр. 245—264.
2) Almansi, Sulla teoria degli impulsi, Rend., Lincei, сер. 5°, т. 25, 19162; стр. 410—416.
§ 5. ТЕОРЕМА ВОЛЬТЕРРА
513
место теорема живых сил. Речь идет о той теореме Вольтерра, которую мы уже упоминали в п. 1 этой главы !).
Обозначив, как обычно, через Fi силу, прямо приложенную к любой точке Pi (і = 1, 2, ..., N) заданной материальной системы S, предположим, что связи (как это бывает, когда речь идет о связях без трения и не зависящих от времени) таковы, что имеет место теорема живых сил
где dL обозначает работу, совершенную за элемент времени dt только активными силами (гл. V, п. 30), т. е.
N
Рассматривая лишь очень короткий промежуток времени от t0 до t0 х, в течение которого некоторые или даже все силы Fi имеют характер ударных сил, обозначим через
соответствующие импульсы. Помимо существования этих пределов, допустим, что во всякий момент t, заключенный между I0 и t0 -\-1, даже при стремлении х к нулю, остаются конечными интегралы
Следует заметить, что это обстоятельство будет наверное вытекать, как необходимое следствие, из предположения существования пределов (64) всякий раз, когда ударные силы Fi при стремлении х к нулю неограниченно возрастают без колебаний, т. е. в конце концов при х, достаточно малом, образуют со всяким неизменным направлением всегда острые или всегда тупые углы (включая в обоих случаях предельный случай прямого угла). Удары, удовлетворяющие этому дополнительному условию, мы'будем называть неколебательными.
Из допущенного предположения следует существование некоторого конечного и определенного числа С такого, что в любой момент t между tQ И -J-X будем иметь
1J Рассуждения, которые мы здесь воспроизводим, были изложены Вольтерра в его Lezioni di Meccanica razionale, читанных в Пизанском универен* тете (1893), которые были изданы только в литографированном виде.
33 Зак. 2368. Т. Леви-Чнвита в У. Амальдв
dT — dL,
(63)
dL = ^lPi- dPt.
t
j Fi^t (і= I, 2, ..., N). (65)
514
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
Заметив это, проинтегрируем уравнение (63) от t0 до t, псУсле чего получим
и обозначим через Л максимум абсолютной величины, достигаемой функцией L при изменении t от до f0-f-1.
Этот максимум А на основании наших предположений есть некоторая функция от "с, необходимо конечная, пока х остается отличным от нуля; покажем прежде всего, что эта функция остается меньше некоторого постоянного количества, а потому остается конечной и тогда, когда т стремится к нулю.
Из уравнения (63) мы имеем
то и каждое из составляющих ее существенно положительных слагае-
и, Следовательно, обозначая через т полную массу системы, и подавно
скалярного произведения двух векторов всегда меньше или, самое большее, равна произведению абсолютных величин сомножителей, тотчас же выводим
где
(63')
(67)
г<т0+л,
и так как живая сила T определяется из соотношения
AT
три
мых тр*(2 будет оставаться меньше, чем T0-J-A. Поэтому для каждой точки Pi будем иметь
(68)
Теперь из выражения (67) для L, замечая, что абсолютная величина
и, следовательно, в силу соотношений (66), (68),
§ 6. ТЕОРЕМА ВОЛЬТЕРРА
515
Это неравенство справедливо для всякого момента, заключенного между и /g-j-t, а потому, в частности, и тогда, когда \L\ достигает своего максимального значения А; отсюда имеем
Л<С лГ2(Уп + А^
' г т
или же
A3 ^ 2С2 7о + Л ' т
Если к обеим частям этого соотношения прибавим по 2Г0 и заметим, что количество, которое таким образом получится в левой части, т. е.
Л2 + 27-0(Л+Г0) (A -H ^p)2 + Tp
Л “Н 7о Л -f- Tg ’
будет больше, чем A-f- То, то придем к соотношению
А + Г0<-^-+2Г0, (69)
или к соотношению
Л< ^ГІГГ°> (69')
которое показывает, что при каком угодно значении г (лишь бы, конечно, оно было достаточно мало) А остается меньше некоторой постоянной величины.
С другой стороны, соотношение (69) позволяет подставить
вместо (68) соотношение
+ ^ (70)
и если обозначим через ДPi перемещение, которое испытывает точка Pi от момента t0 до момента і между і0 и + т, т. е. если положим
t
AP4= (г = I, 2, ..., N)
и обозначим через Si верхний предел длины этого перемещения ДPi при изменении t OT tQ ДО то будем иметь
to+-C
< J vtdt ’(г = 1,2, ...,ДО
и, следовательно, на основании уравнений (70)
+ (і = 1,2,---------------АО- (71)