Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Aap- -f B$q- + Cfr-
Ла2 + ?р + Сг2 ’
где А, В, С суть главные моменты инерции, относящиеся к точке О, закрепленной с самого начала,/)-, q~, г~ — проекции вектора »- на главные оси инерции Oxyz и о, 6, і — направляющие косинусы прямой а, ориентированной наперед выбранным способом.
14. Рассмотреть однородную колонну, призматическую или в пределе цилиндрическую, просто опертую на горизонтальный пол.
Пусть t есть сторона основания, или касательная, В — радиус инерции относительно t. Обозначим еще через а высоту колонны и, следовательно, через а/2 высоту центра тяжести G1 через <f0 угол (необходимо острый), который образует перпендикуляр GD, опущенный из G на t, с вертикалью, направленной вниз.
Центр удара колонны относительно оси t, поскольку эта ось (например, при возможном опрокидывании) служит осью вращения, находится на прямой OG на высоте Aj от пола, определяемой (п. 15) равенством
A1 о2
cos (f>0 ~ д/(2 cos <р0) ’
откуда
hi =2 COs2Ien —.
ти а
Для колонны с прямоугольным основанием, у которого длина стороны перпендикулярной к t, есть Ь, имеем (т. I, гл. X, пп. 21 и 29)
д2 + Ь2\ , а2 + б2 сі1 + 62 а также tg <f0 = b/а, следовательно,
. 2
ftI = Ta-
Для колонны с круговым основанием и с радиусом основания R тотчас же находим
52=|-/?2 + 4-«5’
и, очевидно, ig <р0 = 2Rja.
Отсюда следует
Ai = -J- a (i—4 + fl2/?2);
из этого равенства видно, что высота At центра удара остается заключенной между а/2 и 2д/3; ее отношение к а будет возрастать вместе с a/R.
15. Дана колонна, как в предыдущем упражнении. Определить величину / наименьшего импульса, приложенного на некоторой заданной высоте А, перпендикулярно к /, которым можно было бы опрокинуть колонну,
УПРАЖНЕНИЯ
523
Заметим прежде всего, что угловая скорость <о около оси t, сообщаемая импульсом твердому телу, определяется соотношением (п. 14)
т о8о) = hi,
где т — масса колонны.
После действия импульса колонна начнет вращаться вокруг t, и, если отвлечемся от трения, движение определится (гл. VII, п. 6 и гл. I, п. 35) из уравнения живых сил (деленного на т)
і о2'*2 -j- gr COS <р = Const = ~ O2Ois -J- gr COS Cf0,
где <р0 имеет то же значение, что и в предыдущем упражнении,
г = GO = а/2 cos <р0,
а величина <р представляет собой угол, который (при любом наклонном положении колонны) прямая GO образует с нисходящей вертикалью.
Для того чтобы вращательное движение, начавшееся под действием импульса, привело к опрокидыванию колонны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы центр тяжести G перешел наиболее высокое положение, или чтобы угловая скорость <р не исчезла в интервале (<р0, -0) угла <р. Для этого необходимо и достаточно, чтобы было <р2>0 при <р = О, или чтобы
S20)3 — 2gr (I — cos <р0) ]> 0.
Принимая во внимание предыдущее выражение <о, получить из него для минимального импульса / предельное значение
(J_\2 _ 2gr (I — cos <у0) S3 \т) Л*
где(повторнм это) h есть высота линии действия импульса и r=G0=aj{2 cos ср0) причем cl есть высота колонны.
Для колонны с квадратным основанием при
-a fl2+62 *. л,
о2 =-----з— и Ъ= й tg Cf0,
(см. предыдущее упражнение^ будем иметь
/-LV _ SOl 1 — cos уо \т) ЗА2 cos3 90 ’
где, естественно, должно быть положено h = а/2, если импульс действует на высоте центра тяжести.
Вообще заметим, что Цт имеет размерность скорости v. Установить, что «можно истолковывать как скорость, которая была бы приобретена точками колонны, расположенными на расстоянии В*/А от оси (, если бы колонна, вращаясь вокруг оси t из состояния покоя при наибольшей высоте центра тяжести (^ = 0), упала на пол (<p=tp0). Такое истолкование, очевидно, не особенно наглядно. Более интересным будет истолкование, которое можно дать величине Цт в частном случае, когда импульс приложен по оси удара. В этом случае (п. 15) вдоль оси t реактивных импульсов не будет и
можно в виде единственного внешнего импульса рассматривать прямо при-
ложенный импульс. Тогда в силу первого основного уравнения Цт будет скоростью W0, внезапно приданной центру тяжести. С другой стороны, при расстоянии A/cos ^0 центра удара от О будем иметь А = 52/r cos <?0, а для
524
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
предельной скорости центра по отношению к опрокидыванию будем иметь выражение
vo = 2S -?? О — cos п) COS= <р„,
или, заменяя г через а,
vi _ ga2 I — cos q>n 0 4Вг cos fo
Более полное изложение этих вопросов, специально в отношении сейсмических явлений, см., например, L. De Marchi, I. terremoti; Cause ed effetti; Atti del Collegia Padovano degli Ingegneri (Padova, 1909); а также
F. Om or і, Seismic experiments on the fracturing and overturning of columns, Publications of the Earthquake investigations Commitee (Япония), № 4 (Токио, 1899) и т. IV, № і (Токио, 1910).
16. Два твердых тела Sj, S2 вращаются вокруг одной и той же оси а с угловыми скоростями соответственно o>i и ш2. Между этими двумя телами внезапно вводится жесткая связь. Их общая угловая скорость о> (как это непосредственно следует из основного уравнения моментов, примененного по отношению к оси а и к совокупности двух тел) имеет значение
