Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если уравнение (48') относится к состоянию движения до взрыва, то, полагая в нем Vi-V^f мы можем в силу только что сказанного привести его к виду
N
2 IniAvi ¦ v~ = 0;
І* I
§ 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ИМПУЛЬСИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
507
этому уравнению, посредством преобразования, совершенно аналогичного преобразованию из предыдущего параграфа (за исключением разве замены V* через ©7), можно придать вид
Д T = ©.
Поэтому заключаем, что: в материальной системе с обратимыми связями без трения взрыв производит выигрыш в живой силе, равный живой силе, происходящей от резкого изменения скоростей элементов системы.
28. Теорема Лагранжа—Бертрана. Закончим эти общие рассуждения одним предложением, которое носит название теоремы Бертрана, хотя в одном частном случае оно было известно еще Лагранжу.
В этой теореме сравнивается живая сила T+, с которой действительно начинается движение после удара системы с обратимыми связями и при наличии каких угодно активных импульсов, с живой силой Т\ которую имела бы та же самая система под действием тех же самых импульсов, если бы на нее были внезапно наложены еще новые связи, тоже обратимые, и утверждается, что T+ будет наибольшей по сравнению со всеми возможными T'.
Для доказательства этой теоремы достаточно снова взять общее уравнение в форме (48'), действительной для систем с обратимыми связями, и применить его сначала к системе, на самом деле заданной, а потом к системе, которая получилась бы после воображаемого наложения новых связей. Обозначая через v'. скорости после удара в этом втором случае, в силу чего надо положить Lvl = Vi—Vi, и отмечая, что в о^оих случаях можно принять v.. = v'., так как состояние движения Vi наверное будет совместимо как с существовавшими связями, так и с добавочными, будем иметь
S [Zi — т. (V* — v~)\ ¦ V'. = 0,
і=і
S iri—mi =
І ssl
Вычитая почленно первое равенство из второго и принимая во внимание тождество
(Vf-V1i) • v\ =^(v+r--LiV^-A-(Vt-Vri)*, получим уравнение
JV
T+ = г(*?-*<)*>
І=. 1
508
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
которое показывает, что живая сила будет не больше живой силы T+ и будет равна ей только в том случае, когда любое состояние движения совместимое со связями, первоначальными и добавочными, совпадает с действительным состоянием движения после удара.
29. Голономные системы. Вернемся к общему уравнению импульсивного движения в его первоначальной форме (48) для того, чтобы приложить его к любой голономной системе, число степеней свободы которой пусть будет я. Естественно, что голономность связей должна существовать и в течение промежутка времени т, когда действуют ударные силы, так что, если обратимся прямо к обозначениям п. 22, уравнения (49), число г которых надо принять связанным с числом степеней свободы я и числом N точек системы известным соотношением г-(- « = ЗА/, должны получаться при помощи дифференцирования по времени такого же числа соотношений между координатами. Эти соотношения, как мы уже знаем, можно представить себе написанными в виде параметрических выражений
Pi==PiiVu Я* •••, Яп IO (г = 1,2, ..., п) (54)
точек системы в функциях от я лагранжевых независимых параметров и, возможно, времени. В интересующем нас промежутке времени виртуальные перемещения системы будут определяться равенствами
п
(г = 1, 2, ..., А/), (55)
Ъ=1
где bqh представляют собой я бесконечно малых вполне произвольных приращений.
На основании уравнений (55) для элементарной работы
SL = S Ii -IPi, (56)
i=i
совершаемой прямо приложенными импульсами на любом виртуальном перемещении системы, мы получим выражение
SL = (56')
й=і
где положено
A=\S7i'S (/= 1, 2, ... ,я). (57)
Эти я скалярных количеств Jh, которые надо считать заданными
вместе с активными импульсами и со связями, соответствуют соста-
вляющим обыкновенных обобщенных сил по отдельным лагранжевым координатам qh и потому могут быть названы лагранжевыми состав еляющими импульсов (обобщенными импульсами).
§ 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ИМПУЛЬСИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
509
Возьмем снова хорошо известные выражения
0=1,2,...,ло, (58)
которые для скоростей Vi получаются из уравнений (54) и которые можно рассматривать как полученные в результате решения уравнений связей (49).
Наряду с равенствами (58) примем во внимание еще тождества, которые вытекают из них
^ (»-1,2...................«)¦
дЯн ^qll
Наконец, введем живую силу системы
I N
¦ Vi,
которая, как известно, может быть представлена на основании уравнений (58), как функция второй степени, вообще говоря, неоднородная, от лагранжевых скоростей q; вспомним далее линейные относительно этих скоростей q выражения, которые выводятся для обобщенных количеств движения Ph путем дифференцирования T по времени, и, принимая во внимание указанные выше тождества, напишем
Рь = ~ “ S m*v* -Й (й=1,2, ... , л). (59)
dq °qh
Заметим теперь, что состояние движения голономной системы будет, конечно, определено в любой момент значениями q и q, так что задача импульсивного движения в любой момент t0, поскольку q как параметры положения не испытывают никаких изменений, сводится к определению изменений лагранжевых скоростей Aqh. Ho, если вспомним, что (гл. X, п. 5) обобщенные количества движения (59) суть (линейные) независимые между собой функции от q с коэффициентами, зависящими от координат q и, возможно, от времени t и потому- имеющими постоянное значение за время удара, то увидим, что достаточно определить изменения обобщенных количеств движения Дph, после чего Aqh получатся посредством простого решения линейных уравнений.
