Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Мы дадим здесь краткое изложение этого вывода.
Рассмотрим однородную массу газа, заключенную в сосуде и находящуюся в покое в механическом смысле слова. Допустим, что эта масса, кажущаяся неподвижной в макроскопическом смысле, состоит из огромного числа молекул, которые быстро двигаются, не подвергаясь действию ни внешних, ни внутренних сил. При этих условиях центр тяжести каждой частицы движется прямолинейно и равномерно до тех пор, пока не произойдет удар о другую частицу или о стенку сосуда. Эти удары
34*
532
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
определяют резкие изменения скоростей, так что траектория каждой частицы будет ломаной.
Для таких ударов допустима пригодность законов центрального удара между совершенно упругими телами. Мы имели бы модель такого движения, воображая молекулы в виде совершенно упругих шариков; но мы отвлечемся ¦от всякого предположения об их строении, довольствуясь возможностью рассматривать их в виде таких материальных точек, что всякое столкновение изменяет скорость их так же, как и центральный удар.
Наконец, предположим, что для всякого химически определенного газа все молекулы тождественны между собой и, в частности, имеют одну и ту же массу т.
К этим чисто механическим гипотезам надо добавить специфические постулаты, уточняющие интуитивные соображения, основанные на числе частиц, которое предполагается огромным. Допустим, что во всяком элементе объема AS, доступном для обычного опыта (например, имеющем размеры порядка величины доли миллиметра) благодаря огромному числу молекул, содержащихся в нем, возможны статистические замены, так что если мы выберем момент t и положение P объема, занимаемого массой газа, то можно будет принять, что для всех объемов AS, окружающих в этот момент t положение точки Р, средняя величина какой-нибудь характеристики молекулярного движения, зависящая от P и t, но не от частной формы элемента AS, приблизительно будет одна и та же.
Основываясь на этом соображении, обратим внимание на число молекул в единице объема (в заданном месте P ив заданный момент t), т. е. на отношение между полным числом молекул, находящихся в момент t внутри любого объема AS, окружающего Р, и объемом этой элементарной области, который будем обозначать также через AS. Это отношение, которое мы обозначим через N, вообще говоря, будет функцией от P и t. Ho если речь идет о явлениях (макроскопически) стационарных и однородных, то оно оказывается постоянным и называется числом Авогадро, впервые заметившим, что речь идет о постоянной, общей для всех газов, находящихся в одинаковых условиях температуры и давления. Значение этой постоянной имеет порядок величины 2,7 • IO19 на кубический сантиметр (при давлении в одну атмосферу и при температуре 0°).
Аналогично определится и плотность jj. (в точке P и в момент t) как отношение полной массы молекул, содержащихся в момент t внутри любого объема AS, окружающего Р, к объему AS. А так как N AS равно числу этих молекул и каждая из них, когда речь идет о химически определенном газе, имеет одну и ту же массу т, то будем иметь
mN AS ..
Ix = -AS- = ( ^
Добавим, что если q есть какая-нибудь величина, скалярная или векторная, вполне определенная для каждой молекулы газа, взятой отдельно, то мы назовем средним значением [q\ величины q в точке Я и в заданный момент t отношение
Sg NAS ’
где предполагается, что AS имеет обычный порядок величины (указанный выше), а сумма должна быть распространена на все молекулы, содержащиеся в Момент t внутри AS.
Так, средняя скорость (в векторном смысле) определится отношением
NAS ’
УПРАЖНЕНИЯ
533
и в случае изотропии вокруг Р, которая наверное будет иметь место для стационарных явлений при отсутствии сил, ни одно из направлений не должно рассматриваться предпочтительным, более точно, скорости должны быть распределены почти равномерно во всех направлениях вокруг Р, так что указанная выше средняя скорость [с] необходимо будет равна нулю и таковыми же будут ее составляющие [vx], [Vy], [vz] по любым тре№ осям (неподвижным), неизменно связанным с сосудом (или, что то же, по всякому возможному направлению).
Ho этого не может случиться со средней величиной квадрата скорости
г®2] — а?2-
1 J NAS’
которую мы будем обозначать здесь просто через С®. Эта постоянная С, которая, очевидно, имеет размерность скорости, так как NAS есть отвлеченное число, называется эффективным значением скорости.
В предположении совершенной изотропии вокруг P естественно, что для эффективных значений составляющих скорости по направлениям трех осей (как и по всякому возможному направлению) имеем
Ki = Н) = Ki-
откуда следует
з Kl = M= С\ (11)
таким образом, эффективное значение любой составляющей скорости выражается весьма просто через С2.
После всех этих предварительных замечаний мы можем дать точную форму кинетическому объяснению давления и доказательству закона Бойля, которые, как было сказано выше, восходят к Бернулли.
Мы придем к этому, рассматривая давление на стенку сосуда (которое экспериментально может быть измерено, например, посредством манометра) как эффект среднего числа бесчисленных и беспрестанных ударов, которые молекулы газа в их движении производят на стенку; выражаясь точнее, мы введем понятие удельного давления как некоторой величины (векторной), которая имеет размерность силы, деленной на площадь, и определяется следующим образом. Рассмотрим произвольный элемент Да стенки и результирующую импульсов, которые она испытывает со стороны молекул газа в течение элемента времени At, следующего за произвольным моментом t. Удельным давлением называется отношение названной результирующей к произведению Да &t. Обозначим через п нормаль, направленную наружу по отношению к сосуду.
