Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
25. Применить теорему взаимности, о которой говорилось в предыдущем упражнении, к случаю твердого тела, свободного или со связями.
Задача для случая свободного твердого тела может быть сформулирована следующим образом.
Для двух систем импульсов ?, ?', прямо приложенных к твердому телу, пусть будут R, R' результирующие, М, M' результирующие моменты, взятые, первый относительно любой точки О, второй относительно точки О', вообще говоря, отличной от О. Обозначим через Ad0 и Aw изменения, вызываемые импульсами S в скорости точки О' и в угловой скорости твердого тела, через Д'®о и аналогичные изменения, вызываемые импульсами ?' в скорости точки О и в угловой скорости.
Общая теорема взаимности, высказанная в предыдущем упражнении, выражается здесь равенством
R • а'ф0 + M - A'» = R'. Ac' + M' • Au.
Предполагая, что твердое тело находилось первоначально в покое, исследовать частные случаи, когда:
а) ? сводится к единственному импульсу, приложенному в точке О;
— к единственному импульсу, приложенному в О';
б) E и S' сводятся вместе к одной паре.
Сделать аналогичное применение теоремы взаимности к твердому телу со связями (с одной неподвижной точкой или с одной неподвижной прямой).
26. Дальнейшее применение теоремы взаимности (упражнение 24) можно сделать к голономным системам (п. 29). Если Jh и Jh суть лагран-жевы составляющие двух различных систем импульсов, прямо приложенных к заданной голономной системе, и Aqh, A'qh — изменения лагранжевых скоростей, вызванных ими, то (по общей теореме взаимности) будем иметь
Й=1 Й=1
Это соотношение может быть и прямо проверено на основании формул относящихся к голономным системам. Действительно, имеем (п. 29 предыдущей главы и гл. X, п. 5)
я
Jh — ^Ph — 2 аЬк^Чіі (ft = I, 2, ..., ri) h=i
и аналогично для букв со штрихами.
Фактическая подстановка в обе части предыдущей формулы покажет тождество их, если принять во внимание, что = aJth, так как речь идет
о коэффициентах квадратичной формы (квадратичная часть Т% живой силы системы, или прямо живая сила, если связи не зависят от времени).
УПРАЖНЕНИЯ
529
Предположим, в частности, что равны нулю все импульсы J, за исключением импульса Jtll и все импульсы J', за исключением импульса j'^ = Ja Тогда будем иметь
А'дл = Aq
что можно высказать так: два равных импульса, действующих по двум различным координатам, определяют каждый равные изменения скорости, соответствующей другому импульсу.
27. Рассмотрим в неподвижной плоскости четыре однородных стержня равной длины I и равной массы т, соединенных попарно так, что они составляют ромб ABCD. Обозначив через О центр ромба, примем за вспомогательные оси Ox, Oy соответственно диагонали OA, OB. Система в своей плоскости будет иметь четыре степени свободы. За лагранжевы координаты примем прежде всего три параметра, определяющие положение осей Oxy относительно двух неподвижных осей, т. е. координаты а, р точки О и
угол 9 оси Ox с неподвижной осью, и, кроме того, угол, определяющий
конфигурацию ромба относительно его диагоналей, например, угол ф направленного стержня CB с осью Ох, который будет точно таким же, как
и угол OGi с осью Ох, если через Gi обозначим среднюю точку (центр
тяжести) стержня AB. рассматривая вместе с Gі средние точки G«, G3, G4 соответственно стержней ВС, CA, AD и обозначая через ajt bj координаты относительно осей Oxy точки Gj и через bj угол OGj с осью Ox (г = 1,2,3,4), очевидно будем иметь
Фі = 41- Фй = Я — Ф» Фз = л + ф. ^4 = —
aj = ~ COS ^jl bj = Y sin O = Ij 2, 3, 4),
откуда непосредственно следует
4 4
2aJ = 26J=°; (8)
j= і j=і
дифференцируя эти равенства по времени, найдем
2 a$j == 2 6J^J' = (9)
j=і J=I
Для стержня с центром тяжести Gj угловая скорость относительно
ОСЄЙ Оху, ОЧеВИДНО, будет 4'j> а ОТНОСИТелЬНО НеПОДВИЖНЫХ 0СЄЙ 0 + '[j\
так как проекции относительной скорости точки Gj на оси Oxy равны соответственно — bjtyj, a.j\j, а аналогичные' проекции переносной скорости равны а — bj§, fs -j- cijb, то живая сила рассматриваемого стержня на основании теоремы Кёнига имеет выражение
1 т {[^-^(6 + 'Ь)15+ IP+ aJ (8 + ?)]2} + \ С (0 + ?)2.
где С = ml2j\2 есть момент инерции каждого из четырех стержней относительно своего центра тяжести. Суммируя по J от 1 до 4 и принимая во внимание значения tyj, а также тождества (8), (9) и равенства
aJ3+ 6J-= T 0-=1,2,3,4),
34 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Аііальдн
530
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
мы получим для живой силы T системы выражение
г=тЧ4(“з+^)+!'2(®з+ *а)}-
Заметив это, предположим, что к ромбу в некоторых N его точках Pi (i = 1,2,..., N) приложено столько же активных импульсов /<, лежащих в плоскости ромба. Согласно п. 29 уравнениями импульсивного движения ромба будут
AmAa = Ja, 4= j- 12тАд = Jq, у PmAty = Jij,
где лагранжевы. составляющие J импульсов (обобщенные импульсы) будут не чем иным, как коэффициентами при бесконечно малых приращениях соответствующих координат в выражении виртуальной работы прямо приложенных импульсов
