Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 212

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 230 >> Следующая


33*
516

ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА

Мы видим, таким образом, что Si стремятся к нулю вместе с т.

Собирая в одну общую формулировку результаты, последовательно полученные в предыдущих рассуждениях, мы придем к упомянутой выше теореме:

Если на материальную систему наложены, такие связи, что имеет место теорема живых сил, и если в течение чрезвычайно короткого промежутка времени х система находится под действием ударных (неколебательных) сил, то при х -> 0:

а) работа сил остается меньшей некоторой конечной величины [соотношение (69')];

б) скорости точек системы, остаются также меньшими некоторых конечных величин [соотношения (70)];

в) перемещения, испытываемые отдельными точками системы, стремятся к нулю вместе с х [соотношения (71)].

В пределе можно сказать, что под действием какого угодно числа прямо приложенных импульсов конфигурация системы остается неизменной, тогда как для скоростей отдельных точек, вообще говоря, возможны, резкие изменения.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Из формул (12) п. 4, относящихся к прямому центральному удару, непосредственно следует, что для того, чтобы одно из двух тел, например S2, после удара остановилось (vf = 0), необходимо и достаточно, чтобы между массами, скоростями до удара и коэффициентом восстановления имело место соотношение

(1 + е) т&Г + (m2 — emj v~ = 0.

Отсюда, в частности, следует, что:

а) если до удара тело S1 было в покое, то отношение ZniIml должно быть равно коэффициенту восстановления;

б) если до удара скорости двух тел были прямо противоположны, то отношение ZntIm1 должно быть равно 1 + 2е и, следовательно, в идеальном случае совершенно упругих тел, должно быть равно 3.

2. Для того чтобы при центральном и прямом ударе скорость после удара одного из двух тел, например Stt была прямо противоположна скорости до удара, необходимо и достаточно, чтобы отношение vj/vj скоростей до удара равнялось

(I + е) mt 2т2 -(- (I — е) W1"

3. Проверить, что при центральном и прямом ударе скорости обоих тел могут обратиться, сохраняя каждая собственную абсолютную величину, только в том случае, гкогда скорость центра тяжести равна нулю, и подтвердить, что, за исключением, конечно, случая покоя, необходимо и достаточно выполнение дальнейшего условия е — \.

4. Имеются три шара S1, S2, S3 с центрами на одной прямой; первый из них движется, остальные два неподвижны. Происходит центральный и прямой удар сначала между S1 и Sj, затем между S2 и S3. Для того чтобы
УПРАЖНЕНИЯ

517

для некоторой заданной скорости до. удара шара S1 и при заданных массах шаров S1 и S3 получилась максимальная скорость шара S3, необходимо и достаточно, чтобы масса шара S2 была средней геометрической между массами шаров S1 и S3 (Гюйгенс).

5. Шар наталкивается на другой шар с двойной массой, находящийся в покое. Проверить, что если е = V2, то кинетическая энергия системы после удара сведется к половине.

6. Порядок величины продолжительности удара. Для того чтобы иметь понятие об этой продолжительности, рассмотрим один частный случай (центрального и прямого удара), в котором сложные явления деформации и последующего восстановления, на которые мы указывали в п. 4, можно схематически представить элементарным путем.

Рассмотрим горизонтальную платформу, поддерживаемую снизу мощной пружиной с вертикальной осью, и пустим падать на нее с некоторой высоты большой груз с массой т. Этот груз после падения будет находиться под действием силы тяжести и под противоположным действием пружины, имеющим характер восстанавливающей силы, направленной к естественному положению платформы, а также под действием совокупности пассивных сопротивлений. Если отвлечемся от этих последних и обозначим через г высоту по вертикали платформы, измеряемую вниз от естественного положения, то уравнением движения, очевидно, будет

тг = mg — Az,

где X— положительный коэффициент (ср. гл. I, п. 18), который мы примем в форме X = тш\ Это уравнение, как мы уже знаем, определяет гармоническое колебание около положения равновесия г = gj<.о3, тогда как в действительности, если речь идет об ударе между двумя телами, за первой фазой сжатия последует одна единственная фаза восстановления. Если ограничиться только этими двумя фазами, то явление удара можно уподобить колебаниям тела и платформы. Мы получим, таким образом, способ для оценки как продолжительности удара, так и величины сжатия.

Для этой цели рассмотрим общий интеграл полученного выше уравнения, который, как известно, определяется равенством

г = -^- + rcos К+0О),

где с>0 и 0о суть постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий; заметим, что если V0 "есть скорость, с которой груз ударяется о платформу, то в первый момент t — О удара должно быть г = О, г — vо или

0

= — Г COS 0О, V0 = — Al) Sin 0О. (1)

Согласно установленной выше схеме продолжительность т удара соответствует полупериоду.гармонического колебания, т. е. величине я/m, а взаимное проникновение двух тел соответствует наибольшему опусканию платформы

Теперь важно этметить, что величина gfufl есть высота, на которую опустилась бы платформа, если бы груз был положен на нее без удара,
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed