Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
518
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
и потому представляет собой величину, которая может быть непосредственно измерена. Обозначая ее через 8, мы будем иметь cu = Yglo и, следовательно,
'-'Yr
Если предположим 8 равным небольшому числу миллиметров, то х будет порядка немногих сотых долей секунды.
Что же касается величины г, которая на основании выражения 5 + г измеряет динамический эффект, происходящий от удара, то в силу равенств (1) имеем
'-Y"+4-* V,+5;
таким образом выявлено влияние скорости V0 груза.
7. П е р и о дич е с к и повторяющиеся импульсы. Случай часов. Вынужденные (малые) колебания системы с одной степенью свободы определяются (гл. I, п. 59, и гл. IV, пример 19) уравнением вида
s + 2hs + (ш5 -|- Kt) S = Q (1),
где h есть постоянная затухания, T = 2гс/ш — период собственных колебаний, и Q (t) — добавочная сила.
Как мы уже знаем, общее решение однородного уравнения можно написать в виде (гл. I, п. 60)
и (t) = re~ht cos (о>/ -f 0О) (г, 0О постоянные);
оно стремится к нулю при /->оо. Обозначим через G1 то частное решение а, которое соответствует л = 1/ш, Bo = — те/2:
(t) = е~ы sin <at\
оно отвечает, следовательно, начальным условиям
Ci(O) = O, S1(O) = I.
Из анализа известно и к тому же можно проверить непосредственно, что общее решение полного уравнения [т. е. уравнения с правой частью Q (0 (Q (0 — произвольная функция от /)] можно представить в виде
S (t) = a(t) + J(t),
где
t
J(t) — J Q (и) O1 ((—a) du.
h
В цитированной гл. I (пп. 62 и 66) было отмечено, что если сила Q(t) является периодической с каким-нибудь периодом Ti (не обязательно совпадающим с Т), то в конце концов вынужденные колебания системы будут иметь в качестве периода период возмущающей силы. Это происходит потому, что из двух слагаемых о (<) и J (t), составляющих в сумме s (і), первое стремится к нулю при бесконечном возрастании t, а второе является строго периодическим. Понятно, что аналогичное поведение будет иметь место, по крайней мере приближенно, также и в предельном случае, когда сила Q (/), хотя и остается периодической, но от времени до времени становится очень большой, т. е. переходит в класс ударных сил. Мы будем предполагать, что
УПРАЖНЕНИЯ
519
сила Q (t) почти все время равна нулю, и, наоборот, становится очень значительной в течение очень коротких промежутков времени т, следующих друг за другом с периодом Tti начиная с момента t0. .
Такой тип периодически повторяющихся импульсивных действий имеет большое значение в часовом деле, где посредством ходовых колес или других приспособлений как раз осуществляются повторные удары для поддержания и регулирования движения, которое иначе прекратилось бы вследствие пассивных сопротивлений*).
Обозначим через / импульс, соответствующий первому удару,
fo+x
T -> О
tQ
В силу предположенной периодичности ударов, равным образом будет
fo + vTi-l-T
/= Iim Г Q(u)du (^ = 1,2,3, ...,).
X О V
Если мы примем во внимание, что за очень короткие интервалы т функцию (непрерывную) O1 (*—и) можно рассматривать приблизительно как постоянную (со значением, которое она имела к началу интервала), то предыдущее выражение J при переходе к пределу при т -»¦ О будет иметь вид
J,(t) */? ^r1);
V
здесь сумма распространяется на все целые значения -> (от нуля и далее), которые соответствуют моментам (приложения импульсов) + v принадлежащим интервалу (/д. t).
Полагая
при целом и и 0, заключенном между 0 и 1 (0 < 0 < 1), мы должны распространить указанную выше(сумму на значения индекса v от 0 до п.
Аргумент функции O1, если подставим (в+ 6) T1 вместо t—примет-вид 07") + (я — ч) Ti, после чего, вводя в виде индекса суммирования і—п—ч вместо ч, мы можем представить выражение J в виде
JU) = /2 S1(Or1-HT1).
і=0
Если заменим t на t-\- Ti, то целое число п увеличится на единицу, а 0 останется неизменным.
Следовательно, будем иметь
J(t+ T0—J10 = /=! [97І + (« + !) = Лі V-k+ T1).
Если теперь вспомним, что U1 (0 (как и всякий другой интеграл однородного уравнения) стремится к нулю, когда его аргумент неопределенно
ї) Cm., например, Е. Garuffa, OroIogefia moderna, 3-є изд., Милан, 1920, или: J. Andrade, Chronometrie, Paris, 1908; Horlogerie et chronometrie, Paris, 1924; Н. Bouasse, сочинение, цитированное на стр. 20; J. et,
ІІ, Grossma a, Horlogerie thcoricjue (два тома), Paris, 1911—19J2.
520
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
возрастает, то увидим, что правая часть только что написанного уравнения будет приближенно равна нулю при достаточно большом t, т. е. функция J (t) будет приближенно периодической и с тем большим приближением, чем больше будет t.
8. Если, обозначая, как обычно, через Q результирующую, через Af-результирующий момент количеств движения твердого тела, мы имеем QAT=O при Q^rO, то можно мгновенно остановить твердое тело, сообщив ему единственный импульс. Какова будет его величина и линия действия 6?
Предположить, в частности, что движение до удара твердого тела было вращением вокруг некоторой оси а, в силу чего м • = 0.
