Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если к любому решению о лагранжевой системы (31) или соответствующей гамильтоновой системы (31') применим совершенно общую асинхронную вариацию (даже не изоэнергетическую и с произвольными перемещениями конечных конфигураций), то тождество (46) сведется к тождеству
где в первом члене правой части, для того чтобы выявить его исключительно геометрический характер, мы подставили вместо конечных моментов t0, tt соответствующие конфигурации C0, C1.
Тождество (54), как характеристическое для решений лагранжевой системы, по сравнению со всеми возможными асинхронно-варьиро-ванными решениями выражает так называемый принцип варьированного действия.
Для его исследования и истолкования полезно обратить внимание, подобно тому, как это было сделано по отношению к равенству (50) предыдущего пункта, на некоторые соображения *) о функциональной природе действия
(54)
t. п
(45)
J) Т. L е V і - С і V і t а е U. Amaldi, Condizioni atte ad assicurare l’indi-pendenza degli argomenti nella espressione hamilloniana dell’azione variala, Rend. Acc, Uncei1 (6), т. I, 1925, стр. 265— 272.
442
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
относящегося к нашему решению о, в промежутке времени от до tu с целью показать, что после выполнения вычислений А можно рассматривать как некоторую функцию от E и от координат д° и q1 конечных, конфигураций (величины Е, q° и qx составляют в своей совокупности 2 п -J- 1 независимых аргументов).
Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зависеть от t0> и от 2 п произвольных постоянных, которые входят в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31') и которые мы можем отождествить с начальными значениями q°, р° величин q и р. Наоборот, аргументы t0, tt входят в А только в виде бинома tt —I0; действительно, так как дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное появится в решении о и, следовательно, в функции под знаком А только в виде бинома t —10\ отсюда следует, что после выполнения интегрирования действие А будет зависеть только от tv —10 (но не от tx или t0 в отдельности).
Установив это, мы покажем теперь, что на основании системы п-\-\ уравнений, состоящей из уравнения H=E и из уравнений (52) произвольного решения о, отнесенных к конечному моменту I1, и при надлежащем добавочном качественном условии можно выразить однозначно р° и —10 через q°, q1 и Е\ этим и будет доказано наше утверждение.
Действительно, уравнения (52) при t = I1, если учесть, что H не зависит ^t t, и все перенести в одну часть, можно написать в виде
теперь все сводится к тому, чтобы определить, при каких условиях не будет тождественно равен нулю функциональный определитель левых частей уравнений (52') и уравнения
по отношению к (/г-f-l) аргументам р° и Z1 —10 при tv отличном от t0 и достаточно близком к нему.
Элементы Chk этого функционального определителя для первых п строк и п столбцов (h, k = 1, 2,... ,п) определяются на основании уравнений (52') равенствами
H(p°\q°) — E = О
(55)
cMc — (А--------*о)
Н2) (А, Л= 1,2,...,«);
для последнего столбца также на основании уравнения (52') имеем
§ 6. ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 443
и ,для последней строки из уравнения (55)
_дН (Pu 1 дй) і 2 п\- г —О
и+1,?-----Т~о ” ( — » ’'' ’ ’ + U п+1 —
0Pk
Для нашей цели достаточно оценить в определителе
IiCftfeII (A, fe = l,2,...,fl+l)
члены наинизшей степени относительно бинома I1 — /0; поэтому очевидно, что для элементов последнего столбца бесполезно учитывать вторые слагаемые (1), так как они дали бы место членам порядка выше того, который в общей сложности дают первые слагаемые. Таким образом, останется окаймленный определитель, который, как известно, сводится к квадратичной форме относительно аргументов dHjdp°k, имеющей коэффициентами алгебраические дополнения элементов неокаймленного определителя
Ikftfcll (А, &= 1, 2,.. .,й);
очевидно, что в каждом из этих алгебраических дополнений мы сохраним член наинизшего порядка, пренебрегая в Chk вторыми слагаемыми (2). Окончательно, если введем еще гессиан функции Гамильтона по рА, т. е.
Al Hl дРьдРк Il (А, *=1,2 ,...,п),
и для краткости положим
дН др і дН дРч
Q = A1 дН дРп
SHdH дрхдрч дН дрп 0
увидим, что главная часть рассматриваемого определителя приводится к
di —Qn-1Q0t
где индекс 0 стоит для указания того, что вместо ph, qh надо подставить их начальные значения. Таким образом, мы заключаем, что искомое условие разрешимости будет заключаться в том, чтобы для начальных значений, которые мы хотим задать, было
Q Ф О,
444
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ.
Теперь остается только выразить это последнее условие, полученное в „гамильтоновой форме", поскольку в него входят производные от Я, через функцию Лагранжа.
Для этой цели заметим, что на основании второго ряда п уравнений сисїЄМн (31') элементы dH/dph, находящиеся на кайме определителя 2, можно непосредственно заменить через qh; с другой стороны, оба гессиана Д и A1, соответственно от й и Н, являются определителями с взаимно обратными элементами (предыдущая глава, п. 2). Отсюда следует, что
