Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
„ Iv дг2 • •
^ — -д \ ~:—г- Чи Чк *=i dqhdqh
Tc=I
и для разрешимости системы (52'), (55) относительно ph и t—10 достаточно ввести, наряду с уже допущенными ограничениями, условие, что для рассматриваемых начальных значений квадратичная относительно q форма
П
S32 • •
. . ЙьЧи н=1 dtIbdQk Jk=I
не будет равна нулю.
Конечно, если, ограничиваясь анализом в подходящей окрестности произвольного начального положения д\, мы хотим рассмотреть все траектории, которые выходят из него в каком угодно направлении, то необходимо убедиться, что это условие соблюдается (в соответствии с заданными значениями q°h) при любом выборе qh.
Это, несомненно, выполняется в динамическом случае даже и тогда,
когда живая сила T не является однородной относительно q, так как если обозначим, как обычно, через T2 ее квадратичную часть, то будем иметь
П
V PT ' • 0_
1= Zl —-------“ ЧкЧк = ^T2,
dqh dqit
ft=l
a T2 всегда представляет собой определенную (положительную) форму.
Таким образом, мы уточнили условия, очевидно, довольно широкие, при которых действие А можно рассматривать как функцию от 2п -{- 1 независимых аргументов q°, q1 и Е. Если обратимся теперь к тождеству (54), то вариацию 8*А, стоящую в левой части, можно будет использовать, аналогично вариации 8*S предыдущего пункта, в качестве полного дифференциала действия А относительно 2п-\-\ указанных выше аргументов; а так как равенство (54) удо-
I 6. ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 445
влетворяется тождественно при каком угодно выборе бесконечно малых приращений этих In -j-1 независимых между собой параметров, то из него выводятся следующие уравнения, в которых, как это уже делалось в предыдущем пункте, для удобства письма опущены индексы 1:
=P,.. (И')
(Л= I1 2,... л) в A (q I IЕ)___ 0 C54"1
К ~ Ph' 1 '
1А1УВ=К (54"')
Эти уравнения, наравне с вариационным условием (54), из которого они выводятся, будут тождественно удовлетворены любым решением а заданной лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (310» которая, как мы уже знаем, имеет интеграл H(p\q) = E.
Отсюда легко видеть, что действие А (q \q° [ E) в рассматриваемом здесь случае, когда кинетический потенциал и, следовательно, функция Гамильтона не зависят от t (предыдущая глава, п. 38), приводит к интегрированию лагранжевой системы или, точнее, соответствующей гамильтоновой системы по методу Гамильтона — Якоби.
Действительно, если в функции k(q\q°\E) величины q будем рассматривать как независимые переменные, а 90, E — как параметры, то равенства (54') в силу самого их происхождения обеспечат нам то, что функция А будет удовлетворять уравнению
H
(?-! ч)=Е, (56)
т. е. уравнению Гамильтона — Якоби, соответствующему нашей дифференциальной системе (31) или (31').
Легко также видеть, что между ti-\- 1 постоянными параметрами q0 и E всегда можно выбрать п таких, что по отношению к ним (и по отношению к п независимым переменным q) функция А (?|?°|2:) будет представлять для уравнения Гамильтона—Якоби полный интеграл.
Согласно условию, которому должен удовлетворять пойный интеграл (п. 38, гл. X), все сводится к доказательству того, что функциональный определитель от ph = dAfdqh по я из параметров q° и E не будет тождественно равен нулю. Заметим теперь, что система (54"), (54"') может рассматриваться- как результат решения по отношению к p0, t—10, п-f- 1 уравнений, которые получатся путем присоединения уравнения H=E к интегральным выражениям q через p0, q°, t—f0. Отсюда следует, что, обратно, эта система (54"), (54'") будет разрешима по отношению к п -|- 1 аргументам q и Е, а это обеспечивает, что соответствующий функциональный определитель п -J-1 порядка
446
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
левых частей уравнений (54"), (54'") не будет тождественно равен нулю.
Поэтому матрица, образованная из первых п столбцов этого функционального определителя, т. е. матрица
д*А а2л
Oq01 Sq1 d<fi Sq3 dq\ dq„
д*А д*А д*А
Oq02 Oq1 dq\ dq2 dq% dqn
д*А д*А д2А
d4nd4i dq°„dq3 *4% дЯ„
д2к д*А
дЕ Oqi дЕ dqt дЕ dqn
будет иметь ранг п, и существование в этой матрице, по крайней мере, одного определителя я-го порядка, не равного тождественно нулю, обеспечивает то, что я из я -J-1 параметров q°, E войдут существенным образом в выражение A (q \ q° | Е), которое, таким образом, действительно дает полный интеграл для уравнения Гамильтона— Якоби.
Ho в силу симметрии, которую представляет система (54'), (54"), (54"') по отношению к q, q° (за исключением разве различных знаков двух первых групп уравнений), предыдущее рассуждение можно повторить, меняя в нем роль букв q, q°) таким образом, мы видим, что действие A (q [ q° | Е), когда в нем в качестве независимых переменных рассматриваются q°, а в качестве произвольных постоянных п аргументов, надлежащим образом выбранных из п 1 аргументов q и Е, дает полный интеграл уравнения
я(-^И=?-
В том и другом случае уравнение (54"'), так же как уравнение (746) п. 38 предыдущей главы, определяет закон движения.
