Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Важный предельный случай предыдущего предложения мы будем иметь, рассматривая среду, в которой показатель изменяется внезапно при переходе через некоторую поверхность о, оставаясь приблизительно постоянным (но с разными значениями) с одной и с другой стороны. Выполнив в обратном порядке рассуждения п. 18 и перейдя к пределу, мы будем иметь случай лучей с прямолинейным ходом с обеих сторон от поверхности о, которые испытывают преломление при пересечении с этой поверхностью. Установленное выше предложение приводит к известной теореме Малюса—Дюпена', если пучок световых лучей, выходящих из некоторого центра или, вообще, нормальных к заданной поверхности, подвергается какому угодно числу преломлений, то пучок лучей, выходящих из последней поверхности, будет попрежнему состоять из нормалей к некот ^ рому семейству поверхностей.
В дополнение к теореме Бельтрами — Липшица укажем еще на новые исследования, направленные на ее обращение, т. е. на определение таких траекторий консервативного пучка и, следовательно
29*
452
ГЛ. XU ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
таких геодезических линий подходящего метрического многообразия из оо2”-2 кривых (пространства Г„ координат q), которые обладают тем свойством, что оо”-1 кривых системы, отрывающихся ортогонально от одной какой-нибудь гиперповерхности, остаются нормалями со1 гиперповерхностей, т. е. ортогонально пересекаются оо1 гиперповерхностей *).
§ 7. Обобщение принципа Гамильтона, принадлежащее Гельмгольцу
31. Принцип Гамильтона, распространенный в п. 19 на нормальные лагранжевы системы, устанавливает эквивалентность между любой такой системой (31) и условием стационарности 85 = 0 соответствующего интеграла
t,
S = (16)
to
по отношению ко всем синхронным и только синхронным вариациям любого движения в между одними и теми же крайними конфигурациями, к которому относится этот интеграл. Такая вариация определяется п бесконечно малыми функциями bq от t, произвольными в промежутке от t0 до tv но исчезающими в моменты, соответствующие крайним положениям.
Далее, вспоминая, что 8q суть не что иное, как производные по времени от 8*7 (п. 6), и принимая во внимание уравнения, определяющие обобщенные количества движения
(А=1, 2...,«),
дЧъ
мы увидим, что вариации Ьр не остаются произвольными, а будут однозначно определены как линейные однородные функции от 8q, bq; поэтому, если ввести характеристическую функцию Гамильтона
ft ft
и написать интеграл (16) в виде
п
S = (16')
to h— I
х) Cm., в частности, Е. Kasner, Tfae theorem, и т. д., Trans, of the Amer. Math. Society, т. 11, 1910, стр. 121—140. J. Lipk a, On Hamilton’s canonical equations. Bull, of the Massachusetts Institute of Technology, сер. II, №48, 1923, стр. 31—46. J. A. Scho u ten, Ueber die Umkehrung eines Satzes von Lipschitz, Nieuw Archief voor Wiskunde (Groningen, 1926).
§ 7. ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
453
то эквивалентность, утверждаемая принципом Гамильтона, будет иметь место, так как в синхронной вариации SS вариации 8р рассматриваются уже не произвольными, а связанными с bq, bq, как было сказано выше.
Гельмгольц заметил, что если интеграл^ S берется в виде (16') и функция H рассматривается в нем выраженной через р, q и, возможно, через t и если в соответствующей синхронной вариации SS вариации Ьр рассматриваются как произвольные наравне с bq (при Zqh = O при t = t0 и при t = tx, но без какого бы то ни было ограничения для 8р), то условие 8S = 0 будет все еще эквивалентно лагранжевой системе (31) или, что одно и то же, в предположении Д ф 0, гамильтоновой системе
Л = -^, (*=1, 2, .... п). (31')
Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из SS = O следуют уравнения (31'), потому что SS обращается в нуль при всяком возможном выборе 8р (и bq), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям 8р приписываются те значения в виде линейных функций от bq, bq, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариайия интеграла S геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого, произвольного изменения изображающей кривой в пространстве Г„ конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве Ф2п (между теми же крайними значениями для q, но не необходимо для р).
Доказательство справедливости обратного свойства, т. е. доказательство того, что из уравнений (31') следует 8S = 0, может быть найдено также непосредственно. Прежде всего, вводя в формулу (16') символ синхронной вариации 8 под знак интеграла, будем иметь
8s = J dt dt 2 [qhbPh-^bPh-dJLbqhy
#„ ft=і г о п=1 11 "
после чего, применяя к первому слагаемому интегрирование по частям и замечая, что члены с пределами интегрирования исчезают вместе с bq, получим
8S = J dt Jl {—+ if)Zclh + (?* — jfj 8л>};
эта вариация тождественно обращается в нуль в силу гамильтоновой системы (31').