Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6- ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 439
С другой стороны, из независимости 2п-\-2 начальных и конечных параметров вытекает полная произвольность их приращений о/0, Ц, bq°, 8q1; поэтому, приравнивая в обеих частях равенства (50) коэффициенты при этих приращениях и опуская для удобства индексы, получим две системы уравнений:
wrPh’ §=-я> (50,)
Jt (А= 1,2, ..., п),
3> = -Рпъ> JT=hO (50")
dVh dtO
где Н, H0, согласно первоначальной определяющей формуле (37), суть функции соответственно от t, qn, qn и от t0, qn, qn\ но если представим себе, что в H вместо q подставлены их выражения через
р, q, t, полученные из уравнений
Phsss^ (А= 1,2, ...,я), h dtIh
и в H0 вместо q° подставлены аналогичные выражения через p0, q°, t0, то Н, H0 можно рассматривать как функции соответственно от р, q, t и от р°, q°, tQ.
На основании уравнений (50') путем рассуждений, аналогичных рассуждениям п. 35 предыдущей главы, мы непосредственно увидим, что функция S (t I q; t01 q°), если в ней рассматривать в качестве
независимых переменных аргументы t и q, а в качестве произволь-
ных постоянных — начальные значения ^0, удовлетворяет уравнению Г амильтона — Якоби
SF + "(?lll')-0; <53>
с другой стороны, из уравнений (50") аналогично выведем, что та же самая функция S, если в ней за переменные примем аргументы t0 и q°, а за произвольные постоянные — аргументы q, удовлетворит уравнению
<5з'>
Это можно выразить, говоря, что предыдущее уравнение Гамильтона — Якоби удовлетворяется по отношению к переменным ^0, q° функцией -S(t\q; t0\q%
Важность этого заключения будет выяснена, когда мы докажем, что оба интеграла S (^ ] ^; . ..) и —S(,,., t0]q°), которые мы таким образом получили для уравнения Гамильтона—Якоби из самой функции S (11 q; t01 q°), фиксируя в ней различным образом независимые переменные (а следовательно, и произвольные постоянные), являются полными.
440
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Речь идет о том, чтобы проверить, согласно определению полного интеграла (п. 35 гл. X), что смешанный функциональный определитель
V =
dqhdq)
(А, У= I, 2,
п)
не будет равен нулю. Легко видеть, что это является естественным следствием из нашего основного предположения: Д ф 0. Действительно, так как при этом предположении для всякого решения о лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31') имеют силу уравнения (50'), (50"), то ясно прежде всего, что первые я уравнений (50"), которые можно написать в виде
о
¦Pr-
SS
О'= 1,2,
л),
суть не что иное, как уравнения, которые получатся путем решения относительно р° уравнений qh = qh (t | q° | p0) рассматриваемого решения а, в предположении, что оно определено начальными значениями q и р (вместо q и q). Отсюда следует, что и, обратно, из только что написанных уравнений можно получить q как функции от t, <7°, р°, для чего требуется, чтобы не обращался тождественно в нуль функциональный определитель от ный функциональный определитель
-Pj ПО <7,
т. е. смешан-
ч-
d*S
OqhSq0j
(A, J =1,2,
я).
Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50'), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S (t I q\ t01 <7°), то можно определить посредством одних только операций вида (50'), (50") общее решение лагранже-
вой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31').
Немного позже Якоби показал, что для достижения той же самой цели нет необходимости рассматривать совокупность двух уравнений с частными производными (53'), (53") и еще менее необходимо определять главную функцию; достаточно, как это было вполне выяснено в п. 35 предыдущей главы, обратиться только к одному из этих двух уравнений, например к первому, и найти для него какой-нибудь, полный интеграл.
§ 6. ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 441
28. Варьированное действие. Обращаясь к равенству (46), мы можем повторить по отношению к нему все рассуждения, которые были развиты в предыдущем пункте по поводу равенства (38). Урав* нение (46) справедливо в том случае, когда кинетический потенциал 2 и, следовательно, функция Гамильтона H явно не зависят от t\ но здесь, как и в п. 24, мы предположим, что уравнение H = E действительно содержит dt, для чего, как известно (п. 23), необходимо и достаточно, чтобы функция 2 не являлась суммой двух однородных относительно q функций соответственно первой и нулевой степени.
При этом предположении уравнение Ъ* H =Ъ* Е, так как 8 *Н явно содержит bdt = dbt, не накладывает никаких ограничений ни на вариацию 8*Е энергии, ни на 8^, но определяет только посредством квадратуры вариацию St, когда произвольно заданы 8* Е, вариации 8q (как функции от t) и, следовательно, кривая ск, бесконечно близкая к траектории с решения о лагранжевой системы. Естественно, что при более общем предположении надо допустить, что при переходе от траектории с к произвольной бесконечно близкой кривой Cv варьируются также и крайние конфигурации.
