Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение этого исследования не бесполезно кратко изложить условия, которые мы должны были последовательно вводить ДЛЯ того, чтобы можно было выразить действие А через q, q° и ? и чтобы были справедливы изложенные выше выводы. Этих условий три: 1) лагранжева система должна быть нормальной, т. е. гессиан кинетического потенциала ? не должен быть тождественно равен нулю; 2) функция Гамильтона H(q \ q), по предположению, не зависящая от t, должна явно содержать dt, т. е. не должна быть однородной нулевой степени относительно q, для чего необходимо и достаточно,
§ 6. ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 44?
чтобы й не была суммой двух однородных относительно q функций, соответственно степени 0 и 1; 3) квадратичная форма
П
X = л' -ЧьЯк
A=! dtIhdqic
к=і
не должна быть равной нулю для начальных значений q°, q° величин q, q; это условие должно быть выполнено при всевозможных значениях q°, если мы хотим рассматривать совокупность всех траекторий, выходящих из точки q°.
Здесь уместно следующее замечание, аналогичное сделанному в конце предыдущего пункта. Уравнения (56'), (56"), которым удовлетворяет действие A (q \ q° J E), в зависимости от того, рассматриваются ли в качестве независимых переменных q или q°, были найдены Гамильтоном, который показал также, какую пользу можно извлечь из действия А как для интегрирования соответствующей системы Гамильтона, так и для обнаружения ее важных свойств. Якоби принадлежит также и в этом частном случае кинетического потенциала, не зависящего от t, более легкий метод интегрирования гамильтоновой системы, полностью развитый в п. 39 предыдущей главы и основанный на знании какого-нибудь полного интеграла только одного уравнения (56').
29. Случай изоэнергетической вариации. Соображения предыдущего пункта относятся к совокупности всех траекторий лагранжевой системы с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени.
Выберем некоторое определенное значение постоянной E энергии, чем будет определена система со2и~2 траекторий или связка траекторий (п. 23), и подвергнем любое движение з, соответствующее этой связке, какой-нибудь асинхронной изоэнергетической вариации, т. е. вариации, которая оставляет неизменным значение E энергии (§*? — 0). Вытекающее отсюда условие Ь*Н — 0 при обычном предположении, что H действительно зависит от dt, не ограничивает никоим образом кривую cv, бесконечно близкую к траектории с движения а, поэтому из условия (54) мы получим в этом случае чисто геометрическое вариационное условие
SA=TiftS9Jc = O (57)
Lft=i Jc0
в качестве характеристического для отдельных траекторий связки; это условие выделяет траектории среди всевозможных бесконечно близких кривых, которые могут и не иметь общих концов. Так как действие можно выразить в функции от 2п рядов независимых параметров
448
ГЛ. XI. ОБЩИЙ ПРИНЦИПЫ
q и q°, то из уравнения (57) выводятся две системы уравнений (54'), (54") предыдущего пункта.
Ho при этом предполагается, что все это имеет место при наличии трех условий, сформулированных в конце предыдущего пункта, а так как эти условия будут удовлетворены во всякой консервативной динамической задаче, то в этом случае соображения, указанные выше, будут непосредственно применимы.
Мы уже знаем (п. 15), что для траекторий консервативной динамической задачи действие допускает выражение
A = J f/2JlT+?)ds;
С
в частности, для траекторий соответствующих спонтанных движений (U = 0) или геодезических линий метрического многообразия с линейным элементом ds2 = cITdt1 выражение для А принимает вид
k = \/2Es,
где s обозначает длину дуги геодезической линии, заключенной между конечными конфигурациями.
Мы можем здесь добавить, что во всех этих случаях для действия можно указать выражение А (q \ q°), зависящее исключительно от крайних конфигураций. Так, в частности, для длины дуги геодезической линии имеем выражение, которое составляет очевидное обобщение евклидовой формулы для расстояния между двумя точками обыкновенного пространства как длины соединяющего их отрезка.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого. В п. 30 мы укажем важное следствие из формулы (57). Здесь мы ограничимся указанием, что это вариационное условие или эквивалентные ему уравнения (54'), (54") удобны для анализа вида динамической траектории, близкой к заданной, и приводят к установлению между траекториями, проходящими через две заданные точки, известной симметрии; из этой симметрии, в частности, вытекает важное соотношение взаимности, относящееся к пучкам лучей, испускаемых двумя световыми центрами в какую-нибудь оптическую среду ’).
30. Теорема Бельтрами — Липшица. Выберем произвольно какую-нибудь траекторию С лагранжевой системы (31).
Условие
Іл Stfh = о, (58)
h = l
1J Cm. Т. Levi-Civita, Una proprieta di simmetria delle traiettorie dinamiche spiccate da due punti, Rend. Асе. Lincei, (5), т. XXVI, 1915j, стр. 666—674.
§ 6. ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 449
в котором рн обозначают обобщенные количества движения d%/dqh, относящиеся к с, можно истолковать в пространстве Гп координат q как соотношение, которое связывает в любой точке направление элементарного перемещения ЬР, определяемого приращениями 8q, с обобщенными количествами движения р траектории с, или, если угодно, с соответствующими значениями q, или, в конечном счете, с направлением самой траектории.
