Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В рассмотренном здесь общем случае, как и в динамическом случае, можно воспользоваться уравнением H=E для исключения времени t из характеристической вариационной формулы траекторий любой связки с тем, чтобы придать условию SA = O также и формально чисто геометрический вид.
Ho действительное исключение времени можно привести в каждом данном случае только на основании явного определения H тл SI.
В ближайшем пункте мы проведем вычисления в одном очень простом случае, когда 2 имеет еще, как в динамических задачах, вид Т-\- U, HO T уже не будет однородной функцией второй степени относительно q, а будет равна сумме T12-J- T1, где T2 и T1 представляют собой формы соответственно второй и первой степени.
25. Действие в случае свободной точки, отнесенной к равномерно вращающимся осям. Рассмотрим свободную точку, которая движется относительно осей Oxyz, равномерно вращающихся вокруг оси Oz под действием силы, производной от потенциала, зависящего от х, у, z, но не от t\ это соответствует предположению о поле, неизменном относительно движущихся осей, т. е. симметричном относительно оси Oz.
Если (в есть угловая скорость (постоянная) вращения осей Oxyz вокруг Oz, то соответствующие проекции абсолютной скорости движущейся точки определяются, как известно, выражениями х — ту, у-\-шх, z] полагая для простоты, что масса точки равна единице, мы будем иметь для однородных слагаемых живой силы известные выражения
T2 = ^(хЧУ*+г*), T1 = 2ш (ху—ух), Г0 = -і-ш»(*»+.у*). (48)
28 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Амалыш
434
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Член 7*0» от которого происходит центробежная сила, можно включить в потенциал U; из равенства
L= Ti^Ti +U
получим
. д2 і • дС г • д2 о 'л і Ts / лъ\
*х+1,ту+гл=2т'+т‘ <49)
и, следовательно* на основании определения (37) функции H
H=T2-U,
так что уравнение, которым мы должны воспользоваться для исключения dt из выражения действия, т. е. уравнение
T2-U = E,
имеет тот же вид, что и в случае неподвижных осей.
Вводя элемент траектории ds = Ydxsjr dy%-\-dz% и учитывая последнее уравнение и выражение для T2, находим
ds = /2 (?/+?) dt\ так как на основании уравнений (45), (49)
•ч *1
А = 2J T2dt-J- J Txdt,
то первое слагаемое правой части можно преобразовать, как это делалось в п. 15, в интеграл от Y^(U-\-E)ds, распространенный на дугу с траектории, заключенной между точками, соответствующими моментам t0 и tx, а в интеграле второго слагаемого за текущее переменное также можно принять длину дуги s траектории.
Таким образом, для действия получается чисто геометрическое выражение
a=f {Vm+щ+2„(, % - у щ
С
26. Замечания о вычислении ShA. Как мы уже упоминали в п. 10, при вычислении интеграла Гамильтона
h
J 8<й,
относящегося к любому решению какой-нибудь лагранжевой системы, можно избежать выполнения квадратуры, если известен полный инте-
§ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
435
грал V(<7|f|ir) соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби (предыдущая глава, п. 35)
^ + //(р|<7І0 = О.
Действительно, возьмем тождество (37') и, записывая его в форме
S = 2м.-н, (37')
ft=1
будем иметь в виду, что величинам р, q, H приписываются значения, относящиеся к частному решению, для которого нужно вычислить S. Если аналогично предполагается, что постоянным тг приписаны значения, соответствующие этому же самому решению, ТО Ph будут равны dV/dqh и —H равно dV/dt; поэтому
0 V dV • і SV dV dqh ¦ dt ~~ dt
h = \
и, следовательно,
S=V1-V0,
где V0, V1 представляют собой значения V, соответствующие начальным и конечным конфигурациям и моментам.
Аналогичное упрощение, как уже указывалось в п. 13, мы будем иметь для действия
tJ п
А = Г У, тг qhdt, (45)
Uh=[дяи
когда 2 не зависит от t и предполагается известным полный интеграл W(q\t\E, It1, it2, . .. уравнения
H{p\q) = E.
Действительно, по определению имеем
Ph == ~т (J1 = 1» 2, ... , га);
дЧп
полагая и здесь, что постоянным Е, к в W приписаны значения, соответствующие решению, для которого мы намерены вычислить действие, мы видим, что функция под знаком интеграла в выражении (45) есть не что иное, как dWjdt, так что
A= W1-W0.
Сделаем последнее замечание. Если иметь в виду случай функции 2, не зависящей от t, то, не предполагая известным полный интеграл,
28*
436
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
достаточно отнести ShAk одному и тому же решению и учесть тождество (45')
S = A- Eitl-t0),
чтобы видеть, что вычисление S и вычисление А, по существу, одинаковы.
§ 6. Варьированные движения между варьированными пределами
27. Главная функция Гамильтона. В предыдущем параграфе для асинхронных вариаций интеграла S Гамильтона и действия А мы нашли два тождества общего вида:
8*S = j 2 Рг$Яп — 1^-|-А, (38)
Lft=I J^o
8*А = [ 2 Ph^qh I ^ + (h -10) 8*Е + А, (46)
Lft=i J го
л=/Ч-2*»8»»+(ж+§)8'}- <39>
t0 л=і
Ho для того, чтобы использовать эти тождества для распространения вариационных принципов на лагранжевы системы какого угодно вида, мы должны были постоянно предполагать неизменными при варьировании крайние конфигурации, между которыми нам нужно было вычислять, вдоль любого решения лагранжевой системы, интеграл S или действие А (8<7Й = 0 при t=t0 и f = ^).
