Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
426
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
тождественны с теми, которые определены из первоначального соотношения SS = 0.
Это следствие находит, в частности, применение в задаче об определении геодезических линий какого-либо метрического многообразия Vn (п. 15) с заданным линейным элементом
Jl
ds2 = 2 ankdqhdqk. ft= і *=х
Мы уже видели в п. 16, что эти геодезические линии тождественны с динамическими траекториями движения по инерции голо-номной системы с живой силой T — (ds/dt)2/2; но в то время как ранее мы пришли к этому заключению после очень длинного ряда выводов, имеющих характер и интерес преимущественно динамический, здесь мы можем снова найти тот же результат почти непосредственно, отвлекаясь от всякой механической теории.
Действительно, речь идет об определении кривых, удовлетворяющих вариационному условию
8 J" ds = О,
С
а так как ds есть однородная функция первой степени относительно дифференциалов dq, то эта задача как раз входит в тип, рассмотренный нами выше, и соответствует случаю, в котором в уравнении (34). функции 8 приписывается значение ds/dt. Если положим
S‘“(§)’=2T'
то в силу только что полученного следствия будем иметь, что искомые геодезические линии совпадают с кривыми, определяемыми соотношениями
h
8 J cITdt=O, Г= const;
так как в силу интеграла живых сил уравнение T1 = Const влечет за собой уравнение U = const, то мы имеем дело с динамическими траекториями движения по инерции голономной системы с живой силой T = (ds/dt)2/2.
21. Асинхронная вариация интеграла Гамильтона. Возвратимся к лагранжевой системе (31) общего типа. Выражение (33) вариации SS относится к переходу от заданного естественного движения а к любому его синхронно-варьированному движению as, даже между различными конечными конфигурациями, если оq не предполагаются равными нулю при i = t0 и t=tv Мы увидим сейчас, какое при-
§ s. распространение вариационных принципов
427
ращение следует приписать функции S, если, как в п. 12, введем асинхронность, сопоставляя с любым моментом t момент t -j- S/, где Ы есть произвольная бесконечно малая функция (правильная) времени. Это приращение интеграла
t,
S = fm, (16)
<0
поскольку в нем можно рассматривать слагаемые, происходящие от отдельных элементов 8Л, и затем суммировать их, будет состоять из слагаемых трех типов: 1) слагаемых (d%/dt)btdt, происходящих от возможного наличия t в функции 2; 2) слагаемые SiMt, тождественных (п. 12) с SidZt, 3) слагаемых, происходящих от того, что в асинхронной вариации приращения S*qh не совпацают с соответствующими приращениями Sqh, а определяются, как это легко проверить способом, указанным в п. 12 для приращений Vi, соотношениями
8*qh = Цл — qhbt (А = 1,2,..., я).
Поэтому, вводя обычное соотношение
п
Yl-^qh-Z = H, (37)
??х dqb
найдем
11 А
8*S = SS —J— J" btdt— J HdU,
ta Aj
если применим к последнему члену интегрирование по частям и примем во внимание выражение (33) для oS, то увидим, что имеет место тождество
&*S = [S PhbQh — t + А. (38)
где положено
а“Ы-?8а»+йг+-Ш8'}- <39)
I0 I Л=1 J
22. Дальнейшие замечания об обобщении принципа Гамильтона. Если движение а, к которому относится интеграл Гамильтона S, удовлетворяет лагранжевой системе (31), то на основании выражения (39) имеем Л = 0, потому что, по предположению, биномы Sft обращаются
в нуль; с другой стороны, как мы видели в п. 43 гл. V, в каче-
стве следствия из лагранжевых уравнений имеет место соотношение
dH . діі „
428
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Поэтому, если от движения о перейдем к какому-нибудь асин-хронно-варьированному движению Qa с теми же самыми конфигурациями системы для конечных моментов (bqh = Ы = 0 для t=t0 и t=^), то будем иметь на основании тождества (38) 8* S = 0, и интеграл Гамильтона будет стационарным. Обратно, если движение а таково, что всякий раз, как мы переходим к асинхронно-варьиро-ванному движению между теми же самыми крайними значениями времени и крайними конфигурациями, имеет место равенство о*S = О, из тождества (38) следует Л = 0; отсюда посредством уже "несколько раз применявшегося рассуждения выводится справедливость для а во всякий момент времени, заключенный между I0 и I1, как лагран-жевых уравнений 2? = 0, так и равенства (40), которое при этом является следствием первых.
Таким образом, принцип Гамильтона распространяется на общие лагранжевы системы даже и по отношению к асинхронно-варьиро-ванным движениям, лишь бы они происходили между одними и теми же конфигурациями и за один и тот же промежуток времени.
Заметим, что общее тождество (38) остается, конечно, в силе даже тогда, когда вариация Ы, определяющая асинхронность, предполагается не произвольной, а связанной каким-нибудь образом с 8q, что приводит к выделению из совокупности асинхронно-варьиро-ванных движений некоторого класса движений, определяемых частным законом асинхронности. Однако если, желая применить принцип Гамильтона, положим далее, что крайние конфигурации остаются неизменными (bqh = 0 при t = и t = ^1), то нельзя требовать, чтобы в соответствии с уже наложенной связью и вариация ot также была всегда равной нулю при t — t0 и t = tv Мы можем только утверждать, что когда это последнее условие удовлетворяется в силу той же самой связи, определяющей асинхронность, то этим самым будет также обеспечена эквивалентность между лагранжевой системой и вариационным условием 8*S = 0 по отношению к рассмотренному частному классу асинхронно-варьированных движений между теми же самыми конфигурациями и за тот же промежуток времени.
