Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
-J
ds
V 2 g{y—y^)'
Прямой вывод вида кривой с из условия стационарности этого интеграла излагается и иллюстрируется во многих курсах механики и вариационного исчисления х). Здесь же мы составим себе представление о ней на основании теоремы об эквивалентности п. 18, в), рассматривая эту кривую как принадлежащую к связке траекторий с нулевой полной энергией при движении свободной точки, находящейся в силовом поле с единичным потенциалом
1
4g(y— У о)'
Обратимся к общему случаю, когда две точки А, В не лежат на одной и той же вертикали и определяют вертикальную плоскость. Рассматриваемое движение происходит в этой плоскости, лишь бы, конечно, в ней лежала начальная скорость; если эту плоскость движения мы примем за плоскость координат Z = О (сохраняя постоянно ось у вертикальной и направленной вниз), то дифференциальные уравнения движения будут иметь вид
х = 0, у= 1
4g(y—yo)2 '
Так как отсюда следует х = const = хй, а, с другой стороны, интеграл живых сил, в котором, согласно условию нашей задачи, надо положить E = О, дает
то достаточно исключить at посредством соотношения йх = лго dt (что можно сделать, так как х0 в силу предположения, что AnB не принадлежат одной вертикали, будет, конечно, отлично от нуля) и положить для краткости
*) Суслов Г. К., Теоретическая механика, 1946; JI а в р єн т ь е в М. А. и Л ю с т е р н и к JI. А., Курс вариационного исчисления, 1950.
УПРАЖНЕНИЯ
457
чтобы получить уравнение
1+(?)*-,-?- (4>
которое дает дифференциальное уравнение искомой брахистохроны.
Это уравнение удобнее интегрировать в параметрической форме; для этого, так как правая часть будет, конечно, больше или равна единице,, полошим
0
у —уй = 2a cos2 y = a (I + cos 0). (5)
Этим угол в, предполагаемый заключенным между — я и тс, будет определен, по крайней мере, с точностью до знака, который мы выберем немного
позже. Из равенств (4), (5) следует
(?!-«?¦
поэтому, извлекая квадратный корень и пользуясь произвольностью выбора знака б, можем положить
= - to А
dx g 2 •
После этого, дифференцируя уравнение (5) и исключая посредством только что найденного уравнения dy, получим
А
dx = Ia cos2 db = а (1 4- cos 0) dQ;
отсюда, обозначая через X0 постоянную интеграции, заключаем, что
х — х0 = а (0 + sin 0). (6)
Уравнения (5), (6) дают искомое представление брахистохроны; достаточно перенести начало в точку с координатами х0, у0 (полагая s = х—х0, Y] = у— у0), чтобы видеть, что мы имеем здесь циклоиду, отнесенную к своему основанию, как оси х, и с вогнутостью вверх (т. I, гл. V, п. 43).
Предоставляем читателю определение постоянных на основе данных вопроса (координат точек А и В), равно как и проверку того, что если А я В находятся на одной и той же вертикали, то брахистохрона сводится к соединяющему их отрезку.
6. В п. 20 мы видели, что даже в случае, когда S (q\q) является однородной функцией первой степени относительно q, условие стационарности интеграла
S = Jateirf*)
с
определяет, каков бы ни был параметр t, уравнения Лагранжа
0 _ d д% дй п /«. , г, ..
Qh —- ~ї — О Qi 1,2,.. .,Л);
dt dqh dqA
как мы уже знаем, эти уравнения не будут независимыми между собой, так что задача будет определена только тогда, когда прибавляется еще одно уравнение (например, (35) в п. 20), которое как раз и служит для определения параметра t.
458
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Примем, в частности, за Я (q \ dq) функцию
f (х, у, z)ds==f(x, у, г) \f dx'1 + + dz2,
где f есть какая-нибудь функция от х, у, г; тогда первое из уравнений -Лагранжа будет иметь вид
d fx df л.г-----;-----г-
--------------------- V х* + у* + г* = 0;
dt Yx2 +у2 + Z2 дх
а два другие будут аналогичны ему; если за параметр t возьмем дугу s, в силу чего радикал сведется к единице, то три лагранжевых уравнения можно будет соединить в одно векторное уравнение:
!LMlLjrF = 0, (7)
где t обозначает единичный вектор касательной к неизвестной кривой, для которой интеграл S1 принимает стационарное значение, a F—силу, производную от потенциала—/.
Заметив это, сравним уравнение (7) с уравнением равновесия нити (т. I, гл. XiV1 п. 19)
d(Tt)
ds
F = 0
и вспомним, что между натяжением T и потенциалом U существует соотношение T -f- U = const (там же, п. 37) или прямо T + U = 0, лишь бы была выбрана надлежащим образом аддитивная произвольная постоянная потенциала.
Таким образом, мы видим, что кривые, для которых интеграл S принимает стационарное значение, допускают, помимо различных уже указанных истолкований (геодезические траектории связки, световые лучи, брахистохроны), еще и следующее: они могут рассматриваться как конфигурации равновесия гибкой и нерастяжимой нити в поле силы с единичным потен-цналом
U = —f(x, у, z).
7. Из теорем об эквивалентности § 4 следует, что если известно движение консервативной динамической системы с живой силой Tи потенциалом U, то мы сможем указать и спонтанное движение, соответствующее живой силе (U-\-E)T при E = const. Отсюда еще не следует, что если функции TnU имеют форму Штеккеля (гл. X, п. 64), то то же справедливо и для функции (U + Е) Т. Проверить, что это действительно имеет место, установив, что {U-\-E) T входит в тип живой силы Штеккеля, если вместо подставлены выражения
