Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
23. Траектории и связки траекторий. Прежде чем приступить к распространению принципа стационарного действия на какую-нибудь лагранжеву систему с кинетическим потенциалом, he зависящим от времени, удобно привести здесь некоторые новые соображения о соответствующих траекториях. Эти траектории для случая какой угодно системы дифференциальных уравнений вида
Чъ-=ЧЬ,{Я\Ч\Ъ (А= 1,2,..., п) (41)
были определены уже в п. 61 гл. V как такие кривые пространства конфигураций Tn, уравнения которых получаются путем исключения независимой переменной t из общего решения уравнений (41). Тогда мы видели, что совокупность этих траекторий представляет собой
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ вариационных принципов 429
множество, зависящее, по меньшей мере, от 2п—2- произвольных постоянных и самое большее от 2я; мы отметили уже в упомянутом пункте, что это, естественно, имеет место, в частности, для лагранжевой системы, каков бы ни был кинетический потенциал 2 (q | q 1t), лишь бы гессиан этой функции не был тождественно равен нулю.
В том случае, когда 2 не содержит явно t, для лагранжевой системы существует (гл. V, п. 43) обобщенный интеграл энергии
H(q\q)=E, (42)
и связкой решений называется совокупность, состоящая из оо2л-1 решений, для которой постоянная E имеет какое-нибудь заранее заданное значение. Далее, связкой траекторий, как и в динамическом случае (п. 17), называется совокупность соответствующих траекторий.
Рассматривая динамический случай, мы видели в п. 63 гл. V, что когда речь идет о движении по инерции (силы отсутствуют, т. е. U = const), то траектории, истолковываемые как геодезические линии некоторого метрического многообразия Vn (п. 16), составляют
2/7— 2
множество из со элементов, а с другой стороны, в п. 17 настоящей главы было отмечено, что всякая связка траекторий какой-нибудь консервативной динамической системы тождественна с совокупностью геодезических линий подходящего метрического многообразия. Из того, что и прямое и обратное положения справедливы, следует, что всякая связка динамических траекторий, в случае консервативных сил, зависит точно от 2п — 2 произвольных постоянных.
Здесь мы хотим доказать, что та же самая степень произвола продолжает оставаться в силе для всякой связки траекторий какой угодно лагранжевой системы с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени, за исключением случая, который выяснится в последующих рассуждениях.
Для этой цели удобно прежде всего по отношению к нашей лагранжевой системе снова применить способ, которым мы пользовались в п. 61 гл. V для оценки степени произвола совокупности траекторий любой нормальной системы дифференциальных уравнений второго порядка (41). Все сводится к тому, что в качестве независимой переменной вместо t выбирается одна из переменных q, которая, конечно, должна обладать тем свойством, что она не остается постоянной во время движения (в силу чего мы вынуждены, как мы это видели в упомянутом выше пункте, исключить возможные статические решения, которые, очевидно, не представляют интереса для рассматриваемого здесь вопроса). Если qh есть новая независимая переменная и если обозначим штрихами производные по этой переменной, то преобразованная лагранжева система будет состоять из п—1 уравнений вида
q'n=*th(4\q'v •••, (^=1,2, ..., п— і) (43)
и из аналогичного я-го уравнения, определяющего t".
430
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Далее, при допущенном здесь предположении, что L не зависит явно от t и потому существует интеграл (42), только что указанное я-ое уравнение можно заменить уравнением H(q\q) = E, лишь бы это последнее уравнение было таким, чтобы из него можно было определить t' — dt/dqn (в функции от q, q'v q'2, ..., q'n _ t и от постоянной Е). Если допустить эту возможность и предположить, что уравнение H = E, разрешенное относительно t', принимает вид
t' = ХІ9 \Ч[, Ч2, q’n_x\E), (42')
%
то достаточно подставить в уравнение (43) вместо t' это его выражение, чтобы иметь для определения траекторий лагранжевой си-;темы нормальную систему уравнений второго порядка относительно п — 1 функций qx, qn —і от qn, содержащих в виде параметра постоянную Е.
Таким образом, мы видим, что всякий раз, как будет возможно указанное исключение посредством уравнения H=E, траектории лагранжевой системы будут зависеть, помимо Е, от других 2 я — 2 произвольных постоянных; это и приводит к заключению, что число траекторий любой связки (соответствующих какому-нибудь заданному значению E) будет оо2п~а.
Остается еще рассмотреть исключительный случай, когда уравнение H(q\q)=E неразрешимо в форме (42'). В функцию H(q\q), не зависящую от t, dt входит только через посредство qh == dqh | dt, так что указанный исключительный случай представится только тогда, когда функция H зависит от dt лишь кажущимся образом в том смысле, что H не изменится, если dt умножить на произвольный параметр, т. е. когда существует тождество
H(q\Xqu Kq2, Kqn) = H(q\qu q2, ..., qn),
которое выражает, что H по отношению к q является однородной функцией нулевой степени. Если мы хотим возвратиться к кинетическому потенциалу 2 и вспомним определение (37) функции Н, то увидим, что для этого необходимо найти наиболее общее выражение для й, удовлетворяющее линейному относительно й и ее производных неоднородному уравнению
