Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-Чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 2" -> 187

Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.

Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 2 — Москва, 1951. — 556 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteorticheskoyfiziki1951.djvu
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 230 >> Следующая

454

ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

Мы не прибавим ничего другого к этому указанию, ограничиваясь напоминанием, что важные следствия из этого обобщения принципа Гамильтона были даны Пуанкаре1).

1. Проверить, что в случае материальной точки, удерживаемой на поверхности без трения, принцип прямейшего пути (п. 5) определяет траекторию как такую кривую, которая во всякой своей точке имеет наименьшую кривизну по сравнению со всеми другими кривыми, проведенными на поверхности и выходящими из этой точки в том же самом направлении (определяемом состоянием движения).

2. Пусть две динамические консервативные системы определяются одна живой силой Ги потенциалом U, а другая живой силой / Г и потенциалом

где X обозначает какую-нибудь функцию от лагранжевых координат. Проверить, применяя выводы п. 17, что две соответствующие связи траекторий, для которых полная энергия равна нулю, совпадают.

Обозначив через V какую-нибудь функцию от q, достаточно положить

чтобы придать предыдущему результату следующую более симметричную форму: две связки траекторий, принадлежащие двум консервативным динамическим системам,

совпадают.

3. Изометрические преобразования. Известно, что квадрат линейного элемента любой поверхности посредством надлежащего выбора криволинейных координат х, у может быть всегда представлен в виде ds2 = X (dx1 -f- dy2), где X есть функция от х, у.

Поэтому геодезические линии поверхности будут тождественны (п. 17) с пучком траекторий плоского движения материальной точки (единичной массы), находящейся под действием консервативных сил, производных от потенциала Х/2, если полная энергия точки равна нулю.

Изометрическим называется всякое преобразование криволинейных координат поверхности, которое можно представить в виде

где w обозначает моногенную функцию комплексного переменного х -(- iy. Это название оправдывается тем, что (как это можно проверить непосредственно, дифференцируя уравнение (1) и приравнивая квадраты модулей в обеих частях)

Вывести отсюда, что если известно решение плоской динамической задачи, соответствующей заданному потенциалу U (х, у), то можно прямо указать пучок траекторий для аналогичной задачи, соответствующей потенциалу

УПРАЖНЕНИЯ

(/КЗUU), {YU% V),

І + І1\ = W (х + iy),

(I)

d$ 4- dT]2 = I Wr |2 (dx* + tfy2).

*) H. Poincare, Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, т. Ill, .л XXIX.
УПРАЖНЕНИЯ

455

где С есть произвольная постоянная при условии, что полная энергия точки равна нулю1).

4. Брахистохрона. Если в силовом поле, производном от единичного потенциала U (х, у, г), точка (с массой, равной единице) удерживается без трения на кривой и описывает на ней всегда в одном направлении дугу с, заключенную между двумя точками, и если через s мы обозначим криволинейную абсциссу на кривой с (отсчитываемую в направлении движения), то продолжительность t движения определится соотношением

о

здесь в силу теоремы живых сил (гл. I, п. 12)

v* = V20 +2 (U-Ua), (2)

где V0 и Ua — начальные значения абсолютной величины скорости и потенциала.

Задача о брахистохроне (для заданного силового поля) формулируется так: оставляя неизменными два конца А и В, определить дугу кривой с так, чтобы продолжительность t пробега была наименьшей. Эта задача впервые была поставлена и решена в 1696 г. Иваном Бернулли для случая силы тяжести (U= gy, если ось у вертикальна и направлена вниз) и послужила исходным пунктом вариационного исчисления.

С аналитической точки зрения эта задача, очевидно, тождественна с задачей об определении, по принципу Ферма, хода световых лучей в оптической среде с заданным показателем преломления І/t» (п. 18); как мы уже имели случай указать (только что упомянутый пункт), кривая с, разрешающая задачу, принадлежит к связке траекторий, удовлетворяющей условию E = О и соответствующей свободному движению в силовом поле с единичным потенциалом

1

2г/2 >

где V определяется равенством (2).

Для этого свободного движения абсолютная величина скорости V на основании интеграла живых сил определяетсся равенством

обозначая через г радиус кривизны дуги с и приравнивая проекции ускорения и активной силы на главную нормаль п (направленную к центру), будем иметь

W_±_d_J_____________I dv*

г ~ 2 dn V2 ~ 2»4 dn ’

отсюда, исключая V и имея в виду (2), придем к равенству

= -™-. (3)

г dn

i) Goursat (с последующим замечанием Дарбу). Comntes rendus, т. 108,

1889, стр. 446-450.
456

ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

С другой стороны, при движении со связями, реакция кривой, направленная по главной нормали, определяется соотношением (гл. I, п. 5)

„ р _ Vі AU

Нп~Т~Гп~Т~1К'

Отсюда, принимая во внимание равенство (3), заключаем (теорема Эйлера), что при движении по брахистохроне в каком-нибудь силовом поле реакция кривой в любой момент прямо противоположна удвоенной составляющей активной силы по главной нормали.

5. Брахистохрона в поле силы тяжести. Как уже было отмечено, этот случай входит в задачу предыдущего упражнения при условии U = gy, если ось у вертикальна и направлена вниз. Если для краткости обозначим через —у0 постоянную U\ — 2UА, то интеграл, который мы хотим сделать минимальным, в этом случае принимает вид
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 230 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed