Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрим здесь другие важные следствия, которые могут быть выведены из тех же тождеств (38), (46) в более общем случае, когда при варьировании допускаются произвольные перемещения также и для крайних конфигураций. Обращаясь к тождеству (38), заметим, что если принять в качестве естественного движения а движение, определяемое общим решением лагранжевой системы (31), и отказаться от всякого ограничительного предположения о перемещениях крайних конфигураций, то это тождество приведется к виду
S*S= Г 2 phoqh — HotY1. (50)
Jf0
Это равенство, характерное для решений системы (31) при всех без исключения асинхронных вариациях, выражает принцип Гамильтона и в том случае, когда конечные конфигурации также варьируются.
Мы займемся выводом следствий из этого равенства и их истолкованием.
§ 6. ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 437
Для этой цели необходимо обратить внимание на некоторые соображения о функциональной природе интеграла S и прежде всего общего решения лагранжевой системы1).
Обратимся исключительно к случаю нормальной лагранжевой системы, для чего, как мы уже знаем, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, в рассматриваемой области не был тождественно равен нулю гессиан (гл. V, п. 14)
д*2
Д =
(й, A = 1, 2.................п)
лагранжевой функции 8 по q. В этом случае уравнения qh = qh (t), определяющие общее решение, помимо независимой переменной t, содержат 2я произвольных постоянных; за такие произвольные постоянные, в силу теоремы о существовании решения, можно принять значения <7°, д° координат и их производных q в момент. t = ft, принятый за начальный. Однако здесь будет более удобно в качестве постоянных интегрирования рассматривать вместе с q° уже не q°, а начальные значения р° обобщенных количеств движения рА = d%ldqh. Это соответствует тому, что при ДфО мы имеем одно-однозначное соответствие между двумя рядами п значений р и q, и потому безразлично, какие из них будут задаваться произвольно. Следовательно, мы можем написать общее решение системы (31) в виде
Ян = Ъ(*> I1P0) (А = 1, 2, ... , я). (51)
Отсюда вытекают аналогичные равенства для q, так что, предполагая, что в подинтегральное выражение Qdt интеграла S вместо q, q подставлены эти их выражения, мы увидим, что по выполнении вычислений этот интеграл будет зависеть от 2п -J- 2 аргументов *о> *1* 9°> P0’ которые, по крайней мере в надлежащим образом ограниченной области, можно выбирать произвольно, и, следовательно, они будут независимыми между собой.
Для нашей цели будет удобна дальнейшая замена произвольных параметров, заключающаяся в том, что в выражение, полученное таким образом для S, вместо постоянных р° вводятся значения q1, которые, согласно тем же уравнениям (51), получают координаты q в конечный момент Z1:
%У»*оI?01P0) (*==¦ 1,2, ... , л); (51')
это возможно только в том случае, если эти последние уравнения будут однозначно разрешимы относительно р°, по крайней мере при tu достаточно близком к t0.
1J Cm. равносильные, но может быть, не так быстро ведущие к цели соображения в книге Е. V. Weber, Vorlesungen (iber das Pfaff’sche Problem, Leipzig, 19Q0, стр, 380—382,
438
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Чтобы исследовать, при каких условиях уравнения (51') можно решить относительно р°, найдем первые члены разложений в ряды по степеням t—10 функций cpft, рассматривая их как решения лагранжевой системы (31) или, что равносильно при условии ДфО (гл. X, п. 1), как решения эквивалентной ей гамильтоновой системы (при начальных значениях д°, р° для t=t0)
Ph- Ян— (ft= 1, 2, ... , я). (ЗГ)
Беря только второй ряд я уравнений, непосредственно находим
qh-9*-(t-V +(2), (52)
0Ph
где символом (2) обозначены члены, которые содержат множителями биномы t—10 с показателем, по меньшей мере, равным 2. Эти уравнения будут разрешимы относительно параметров р° (в функции от t0, q°, t, q), если не обратится тождественно в нуль функциональный определитель правых частей по отношению к р°, равный
( d*H(Po\q*\t0) . А
{ +<1)Г
Это выражение при всяком t, отличном от /0 и достаточно близком к нему, будет только тогда отлично от нуля, когда отличен от нуля для начальных значений p0, q°, t0 гессиан
Al= I dphdpk (h, k = l,2, п)
функции H по р. Так как это последнее условие будет, наверное, выполнено в силу тождества AA1 = 1 (гл. X, п. 2) и основного предположения Д ф 0, то заключаем, что при этом последнем условии уравнения (52) действительно разрешимы относительно р° и определяют выражения р° через ql, а также через t0, tu q°. Таким образом, мы видим прежде всего, что q1 не связаны между собой никакими соотношениями и составляют, следовательно, вместе с t0, tlf q°, 2ti-\-2 независимых между собой аргументов; далее, если в S вместо р° подставляются только что указанные выражения, то интеграл S будет функцией от 2п-\-2 только что указанных независимых аргументов. Именно этот вид интеграла S и был назван Гамильтоном главной функцией (см. п. 10).
После этих предварительных замечаний вернемся к уравнению (50) и заметим, что в силу самого определения асинхронной вариации вариация 8* S есть не что иное, как полный дифференциал от S, рассматриваемый как функция от только что указанных аргументов
