Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
377
в отдельных точках Q фронта и (P, t) и распространятся в течение промежутка времени t'.
Можно сказать, что в этой возможности образования любой волны как огибающей вторичных предшествующих волн (которая истолковывает, по существу, свойство группы простой бесконечности однородных преобразований прикосновения) заключается существенный характер распространения посредством волн.
Если мы обратим внимание на то, что дифференциальные уравнения, описывающие явление, вполне определяются функцией
Н(р,д) = Ж (F) V P21+РІ+ ...+Plf
и вспомним, что функция Ж (F) — H (а \ q) в свою очередь зависит исключительно от формы гиперповерхностей элементарных волн, то увидим, что распространение посредством волн, в течение всего времени распространения, будет характеризоваться природой гиперповерхностей элементарных волн (что с точки зрения теории групп соответствует тому, что группа оо1 однородных преобразований прикосновения, указанная выше, может быть образована путем бесконечного повторения одного и того же бесконечно малого преобразования прикосновения).
д) Лучевая скорость и скорость распространения. Траектория центра/3 любого элемента называется лучом распространения волны, а скорость точки Р, т. е. вектор с проекциями
^ _dH(p\q) /и_ , 0
-----(Л-1, 2,
называется лучевой скоростью. Так как FI не зависит от t и, с другой стороны, является однородной функцией первой степени относительно р, так что BHIdph будут аналогично однородными функциями нулевой степени, то ясно, что лучевая скорость является функцией элемента (т. е. функцией положения и ориентации элемента), но не времени.
Составляющая лучевой скорости в направлении нормали ч к элементу определяемая соотношением
I V „ дН - Н(Р I Я)
/І
Г *=1
Pt
будет не чем иным, как функцией Ж (F), и называется скоростью распространения системы волн.
Это название, данное функции Ж (F), можно оправдать следующими рассуждениями.
Рассмотрим для любого момента t какой-нибудь элемент F гиперповерхности волны а. По истечении промежутка времени dt, т. е. в момент t-\-dt, элемент F принимает некоторое положение F', близкое к F1 и весь фронт волны и смещается в некоторую конфигурацию o', близкую к и, содержащую в силу основного свойства распространения элемент F'. При заданных положениях P и Pr центров элементов FnF' расстояние по нормали от P до нового фронта волны, т. е. отрезок di нормали ч к F, заключенный между P и точкой пересечения V с а', будет равен
d4 — PP' cos (PP', v),
так как в непосредственной близости от точек PnP' гиперповерхности S. и я' можно заменить гиперплоскостями (касательными} двух элементов;
378
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
dv будет представлено в виде проекции элементарного перемещения центра P (с составляющими dqh) на направление ч (с направляющими косинусами аА). Поэтому имеем
»
-?= S = 9) = щп
7»=1
откуда видно, что Ж (F) действительно представляет собой скорость, с которой перемещается по направлению своей нормали фронт волны, содержащий элемент F.
Так как канонические уравнения вполне определяются функцией Н(р | q), или, что то же, функцией Ж (F)1 то мы приходим к заключению, весьма наглядному с физической точки зрения, что явление распространения волн может быть полностью описано, если известна скорость распространения, выраженная в функции места и ориентации фронта волны.
е) Оптическое истолкование распространения посредством волн. Принцип Гюйгенса. Понятие распространения посредством волн исторически ведет свое начало от Гюйгенса, согласно которому свет в любой среде распространяется посредством волн, в том смысле, что световое возмущение, испускаемое в данный момент t = 0 центром Р, достигает по истечении некоторого промежутка времени некоторой вполне определенной поверхности (поверхность волны) а (Р, t). К этому кинематическому представлению Гюйгенс (считавший среду однородной и изотропной, так что свет распространяется в ней по прямым линиям с постоянной скоростью, и потому поверхности волн будут равномерно расширяющимися сферами) присоединил следующий геометрический постулат, формулировка которого приводит к повторению рассуждений, уже вполне разъясненных в предыдущих пунктах. Рассматривая две последовательные поверхности световых волн и (Р, t), <s (P,t-\-1'), испускаемых одним и тем же центром Р, он допустил, что поверхность о (P, t + V) геометрически может быть образована в виде огибающей оо2 поверхностей вторичных волн и (Q, t'), которые получились бы в момент t + ?, если бы они были порождены в момент t различными точками Q поверхности о (Р, t), т. е. если бы каждая из этих точек стала в этот момент новым источником света.
Принимая во внимание предыдущие рассуждения, мы можем синтезировать здесь кинематические представление и геометрический постулат Гюйгенса следующим образом: распространение света в какой угодно среде представляет собой процесс, определяемый однородной канонической системой с подходящей характеристической функцией Н(р \ q), конечно, однородной и первой степени относительно р.
