Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть аналитическое выражение принципа Гюйгенса.
Для избежания недоразумений отметим, что здесь этот принцип рассматривается в его первоначальном исключительно геометрическом виде. В физической оптике, где распространение света связывают с колебательными явлениями, аналитическая формулировка принципа Гюйгенса в наиболее полной форме, приданной ему Френелем *). выражается, если рассматривать
!) Огюстен Жан Френель (FresneI) родился в Нормандии в 1788 г., умер в Париже в 1827 г. Вместе с английским физиком Томасом Юнгом он дал экспериментальные основы волновой теории света. Выдающимися являются его опыты с явлением диффракции и интерференции поляризованного света. Согласно его теоретической концепции световые явления порождаются поперечными колебаниями некоторой среды (эфира), которую, для того чтобы иметь бесконечно малую плотность, наделяют свойством упругих твердых тел. При помощи волновой теории света ему удалось в удивительном согласии с опытом объяснить не только классические явления геометрической оптики
УПРАЖНЕНИЯ
379
общий случай, дифференциальным уравнением с частными производными 1J.
Возвращаясь к геометрической оптике и обращаясь к характеристической функции
определяющей распространение посредством волн, заметим, что изотропные среды (в которых все направления должны быть физически эквивалентны) соответствуют предположению, что Ж не зависит от ориентировки элемента, т. е. является функцией только от q: однородные среды (в которых должны быть физически эквивалентны все точки) характеризуются предположением, что Ж, а следовательно, также и Я не зависит от q. В этом последнем случае, как мы это видели в пункте „б“, свет распространяется по прямой линии со скоростью, зависящей в общем случае от направления (но не от места).
14. Доказать, что если закон распространения волны в декартовых координатах определяется функцией
15. Рассмотреть распространение посредством волн, соответствующее характеристической -функции
при постоянных а.\, аъ ... , ап (эллипсоидальные волны).
16. Геометрическую теорию распространения посредством волн можно обобщить на случай среды, оптические свойства которой изменяются с временем, рассматривая для этого характеристическую функцию H(p\q\f), всегда однородную первой степени относительно р, но зависящую явно от t.
я аберрации (уже исследованные ранее различными путями), но также и явления диффракции и поляризации, что и обеспечило превосходство волновой теории над теорией испускания.
1) Cm. Ki'rchhoff, VorIesungen fiber math. Physik, т. % Leipzig, 1891, лекция IV. Дальнейшие усовершенствования и обращения см: Maggi, Ann. di Mat. (2), т. 16, 1888, 21—48. Beltrami, Сочинения, т. IV, стр. 310—319, 525—529. Volterra, Rend. Асс. Lincei s. 5а, т. II. 1892!, 1882,стр. 161—170, 255-277; Nuovo Cimento, s. За, т. XXXI, 1892, стр. 244—255; т. XXXIII, 1893, стр. 59—61. Levi-Civita, Nuovo Cimento, s. 4а, т. VI, 1897, стр. 204—209. BiirgattijArUiJoo Cimento, s. 5а, т. XVI, 1907, стр. 183—198. Tedone, Rend. Ак.с. Lincei, s. 5а, т. XXVI, 1917!, стр. 236—289, т. XXVII, 191?, стр. 351—360. Kottler, Ann. der Physik, т. 70, 1923, стр. 405—456. Hada-m а г d, Bull, de la Soc. math, de France, т. LU, 1924, стр. 610—640, а также там же, стр. 241—278, и Acta math., т. 49,1926, стр. 203—244.
H (Р \ q) — Ж (F)Y р\ +pi + ...р\.
f (х, _у, z | /) = О,
то скорость распространения будет равна
_df
dt
380
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С этой целью Cm. Vessiot, Essai sur ia propagation par ondes, Ann. de I’Ec. Norm. Sap., 3 s, т. XXVI, 1909, стр. 405—448. Sur la propagation pat ondes etc.. Journal de Math., cep. 6, т. IX, 1913, стр. 39—76.
17. Эллиптические координа т ы. Рассмотреть в евклидовом пространстве п (^2) измерений, в котором Xi, х2, ... , Xn являются ортогональными декартовыми координатами, уравнение
п 2
” *' 1=0, (14)
а{— X
i=l
где X есть действительный параметр, изменяющийся от —оо до +°°> и а* •обозначают п действительных и различных постоянных, причем
4>аг> •••>««•
Если положим
/(Х) = (Х — O1) (X — аъ) ... (X — ап), (15)
то функцию
п 2
'W-Sj5=I-1 0«
4*=1
в левой части (14) можно написать в виде
^ = (17) где F(X) есть полином степени п относительно X (и, конечно, зависящий от х и от а), для которого здесь нет необходимости давать явную форму. Достаточно отметить, что коэффициент при Xй в F (X) предполагается равным положительной единице. Функция ср (X), в которой х приписываются любые значения, обращается в бесконечность (первого порядка), как это следует из равенства (16), при X = A1, в2,..., ап и только при этих значениях X; легко также видеть, что она исчезает при некоторых п действительных значениях
Ч\ > Чг > ¦ • • > Чп, являющихся внутренними для интервалов
(«1, а2), (а2> а3), ... , (дп-1, ап), (ап, — со). (18)
Действительно, если обратимся к интервалу (aj, Aj-+1) при j < п, то очевидно, что функция tp (X) будет оставаться в нем, за исключением концов конечной и непрерывной; если напишем
