Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Предложения, к которым мы таким образом приходим, обыкновенно называют принципами. В этой главе мы предполагаем установить некоторые из этих принципов; одни из них справедливы в общем случае, а другие — только для некоторых специальных классов надлежащим образом определенных систем.
Мы будем предполагать во всех случаях, что речь идет о материальных системах исключительно с Двусторонними связями, так что для этих систем будет справедливо общее уравнение динамика. Мы начнем с изложения принципа наименьшего принуждения или наименьшего усилия Гаусса и принципа прямейшего пути Герца; эти принципы не только равносильны принципу виртуальной работы, но й прямо могут быть сведены к тому общему уравнению динамики, для которого они составляют только две новые интерпретации.
§ 1. Принцип наименьшего принуждения или наименьшего усилия Гаусса
2. Принуждение и усилие. Пусть дана какая-нибудь материальная система из N точек Pi (i = 1, 2, ..., N) с какими угодно связями^
25*
388
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
будем рассматривать состояние движения (конфигурацию C0 и распределение скоростей г»0), которое она имеет в любой определенный момент t, находясь под действием заданных сил Fi. К концу следующего промежутка времени т, т. е. в момент ^ —j— х, система при совместном действии активных сил и реакций связей приходит в некоторую новую конфигурацию С; если бы в момент t связи отсутствовали и точки системы в течение того же промежутка времени -с двигались свободно под действием заданных сил Fi, то их конфигурация С* к моменту была бы, вообще говоря, отлична
от С.
Различие между конфигурациями С* и С мы можем приписать принуждению, которое оказывают связи на материальную систему и которому, в силу принципа равенства действия и противодействия, должна соответствовать совокупность усилий или давлений, испытываемых связями или, лучше сказать, реализующими связи материальными телами (шарниры, направляющие, опоры, подвесы и т. д.). Здесь необходимо дать физически обоснованное математическое определение такого принуждения, а следовательно, и совокупности противоположных усилий или давлений на связи, ограничиваясь хотя бы выражением их суммарного эффекта.
Заметим прежде всего, что эмпирическое понятие принуждения от связей или соответствующего давления на связи заключает в себе распределительное свойство в том смысле, что принуждение в целом, необходимое для изменения движения нескольких материальных точек, можно рассматривать как сумму принуждений, которые требуются для каждой точки в отдельности. Уточним прежде всего это понятие для случая только одной материальной точки Р.
Итак, пусть Q, Q* будут два различных положения, которых достигает одна и та же точка P за один и тот же промежуток времени от t до t-\- т, исходя из одного и того же состояния движения, в действительном движении CO связями, или, как будем также говорить, в' естественном движении и в воображаемом свободном движении. Тогда принуждение, вызываемое связями, обнаруживается в том, что положение Q не совпадает с положением Q*, т. е. принуждение зависит от отрезка QQ* и должно быть принято равным нулю, если Q будет совпадать с Q*, так как в этом случае все будет происходить так, как если бы связей не было.
С другой стороны, целесообразно принять это принуждение пропорциональным массе точки, так как для того, чтобы изменить движение точки, т. е. для того чтобы сообщить точке ускорение, необходимо при прочих равных условиях некоторое усилие, тем большее, чем больше соответствующая масса. В силу этих соображений оказывается приемлемым соглашение оценивать в этом случае принуждение в виде произведения mQQ*2 массы т точки на квадрат расстояния от Q до Q*.
S 1. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ ГАУССА
389
В более общем случае, для системы из Al материальных точек, мы назовем принуждением (не отрицательную) скалярную величину,
г=|;«гАо:2, о)
i=l
где Itii есть масса произвольной точки Pi, a Qi, Qi обозначают положения, достигаемые ею к концу заданного промежутка времени, начиная от одного и того же состояния движения, первое — в естественном движении, а второе — в воображаемом свободном движении.
Важно отметить, что такое принуждение зависит, помимо связей и действующих на систему сил, от промежутка времени, к которому оно относится, и от начального состояния движения.
3. Принцип Гаусса. Для последующего необходимо выражению принуждения (1) придать явный вид, в предположении, что связи, наложенные на систему, являются идеальными и двусторонними. Если в качестве лагранжевых (избыточных) координат N точек Pi системы примем соответствующие декартовы координаты Si, -?, Ci относительно некоторой галилеевой системы отсчета, то связи, будут ли они голономными или неголономными, могут быть выражены (т. I, гл. XV, § 7) уравнениями вида
Вк — Ьк = 0 (k = 1, 2, ..., г), (2)
где каждое Bk обозначает линейную форму относительно проекций Sj1 TJi, Ci скоростей Vi отдельных точек Pi, а величины Ьк вместе с коэффициентами только что указанных линейных форм зависят от конфигурации точек Pi, т. е. от координат Si, -?, Ci и, возможно, от времени.
