Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
373
стической функции H (р | д)
д _|| д*Н
1 WhdPk
который, как мы знаем, здесь тождественно равен нулю, имеет ранг (я — 1).
Предположим для определенности, что гессиан функции H относительно Pb Piy • ¦ •> Pn-I не Равен тождественно нулю. В силу п канонических уравнений
Ih = WjTh (А = 1, 2..............я) (10)
разложения функций q (t) в ряд Тэйлора, начиная от начального момента t == 0, имеют, по крайней мере с точностью до членов порядка выше первого, вид
+ (ft =1,-?...,я). (11)
где, конечно, производные от H подразумеваются вычисленными для рк=р^, qh = q°h. Эти интегральные выражения для q, если в них q° рассматриваются постоянными, а отношения величин р° (от которых они только и зависят) — изменяющимися, дают параметрические уравнения основания нашего многообразия из oora_I соединенных элементов в момент t. Размерность этого основания определяется рангом якобиевой матрицы от переменных q относительно отношений переменных р\, ....или, как еще можно сказать, относительно переменныхр\,р% .-.,/»»_!• На основании равенств (Il) имеем dgh / д*Н \
TT=Hr-^-) +•’• (?= Ь 2, ...,я; 4 = 1,2,...,8-1),
дРк XdPhdPkJo
а отсюда следует, что часть указанной якобиевой матрицы, содержащая t в наименьшей степени (мы можем ограничиться ею, если / предполагается достаточно малым), отличается только множителем tn~x от матрицы
д%Н ' 11 (A = 1,?...,я; к=1, 2, ..., п— 1),
IKdPhdPkJol
которая при принятом предположении будет ранга я — 1, так как она имеет отличный от нуля минор, образованный из первых я — 1 строк. Таким образом, действительно, элементы связки с центром P0 в конце промежутка времени t будут распределены по гиперповерхности.
Эта гиперповерхность, по соображениям, которые выяснятся из последующего, называется гиперповерхностью или фронтом волны, источником которой является центр Po, а продолжительность распространения равна t; мы будем обозначать эту гиперповерхность и (P0, t).
Рассмотрим, в частности, элементарное перемещение ооге~1 элементов некоторой связки с центром P от момента t до ближайшего момента t-\-dt. Легко указать как точечное, так и тангенциальное уравнение гиперповерхности элементарной волны а(Р, dt), которая является одновременно геометрическим местом центров и огибающей гиперплоскостей одних и тех же элементов к концу элементарного промежутка времени dt, отсчитываемого от момента t.
Вследствие того, что мы рассматриваем бесконечно малые перемещения, а (Р, dt) будет близко к Р, так что достаточно принять начало осей в точке Р, чтобы координаты любой точки Q фронта волны с (Р, dt) были равны приращениям dq, испытываемым координатами q в заданный элемент времени
374
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Мы легко найдем искомые уравнения, если воспользуемся частным интегралом H (р \ д) = 1 канонической системы. Действительно, вспомним прежде всего, что этот частный интеграл, если мы опять введем q вместо р (упражнение 10), вновь принимает лагранжеву форму
8 (ч I ч) = и
а так как S есть однородная функция первой степени относительно q, то ему можно придать вид
2(q\dq) = dt. (12)
Это и есть точечное уравнение гиперповерхности элементарной волны, если мы будем рассматривать в нем координаты q центра P и dt, как постоянные, a dq — как текущие координаты.
С другой стороны, направляющие косинусы ah нормали ч к а (Р, dt) в любой точке dq пропорциональны значениям производных
68 (Ч\а<*) (ft==i 2 п)
ddqh {,n-і, z, ...,п)
в этой точке, которые в силу однородности S можно написать в виде
тш (й=1,2.........
«ь.
и поэтому они тождественны с обобщенными количествами движения Ph, Следовательно,
рп
(ft = 1, 2, ...,я),
Pi
а потому в силу последнего из равенств (8) расстояние W любой гиперплоскости, касательной к в (Р, dt), от начала будет равно
п п
і ад== —--------------------- .*-1 dt.
Pt
Ho в силу п канонических уравнений (10) й вследствие однородности H это последнее уравнение можно написать в виде
M=-TOfl rf/.- dt
Vkf' vk*
или, вводя направляющие косинусы Xhl в виде
w = H(a\q)dt. (13)
Это есть тангенциальное уравнение фронта волны и (P, dt), если, конечно, мы будем рассматривать здесь q и dtкак постоянные, a oft и w — как текущие координаты.
УПРАЖНЕНИЯ
375
Из точечного уравнения (12) следует в силу однородности 2, что гиперповерхности элементарных волн и {Р, d'i), о (P, d"t), относящихся к одному
и тому же центру Р, но отличающихся продолжительностями распространения d't,d"t,..., будут между собой гомотетичны; их форма, вообще говоря, изменяется вместе с центром Р, оставаясь неизменной только в том случае, когда 2 не зависит от P,. т. е. от q.
Переходя к тангенциальному уравнению (13), необходимо прежде всего отметить, что функцию H (a I q), так как она зависит исключительно от координат q и направляющих косинусов а, можно рассматривать как функцию Ж (F) произвольного элемента F, связанную с H(p\q) соотношением
H(p\q) =K(F)V РІ+РІ+...+РІ.
Если, в частности, эта функция Ж, будучи зависимой от положения центра элемента Р, не зависит от направления соответствующей нормали ч, т. е. если
