Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы выразить зависимость уравнений (2) от скоростей, напишем эти уравнения в виде
Bk(v)—bk = 0 (* = 1,2......г). (2')
С другой стороны, вспомним, что для всякой связи, не зависящей от времени, соответствующее Ьк будет тождественно равно нулю, и, независимо от того, будут или не будут Ьк равными нулю, виртуальные перемещения системы для любой конфигурации определяются уравнениями
Bt(SP) = О (Л = 1, 2, ..., г), (3)
где Вк(ЬР) представляет линейную форму, которая получается из
Bk (v) путем подстановки вместо проекций Sil -?, Ci каждой из скоростей Vi соответствующих проекций SSi, Sifii, ^ti рассматриваемого виртуального перемещения SPi.
Установив это, заметим, что так как скорости v, допускаемые связями для отдельных точек системы, связаны соотношениями (2'),
390
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
то соответствующие ускорения будут связаны уравнениями, которые получатся из уравнений (2') дифференцированием по времени, т. е. уравнениями
Вк(а) — ck(v\P\t)^0 (Л = 1, 2, ..., г). (4)
В этих уравнениях Bk обозначают все еще те. же линейные формы, которые входят в равенства (2'), но выражены через ї(, i\{, Ci вместо ?»> 7I** функции ск в отличие от Ьк зависят от конфигурации системы и от времени, а также и от скоростей (но не от ускорений).
Представим себе теперь, как и в предыдущем пункте, что система в момент tQ выходит из заданной конфигурации C0 (в которой Q9 есть положение любой точки Pi) и с заданными скоростями V0i, конечно, совместными со связями. Ускорения Ui отдельных точек Pi в естественном движении должны удовлетворять уравнениям (4), в которые вместо V, Р, t подставлены z>°, Q0, f0, т. е. уравнениям
Bk{a)-ckW\Q0H = O (Л=1, 2, ..., г). (4')
Ho эти уравнения недостаточны для однозначного определения а{, так как можно указать бесконечное множество систем ускорений, которые им удовлетворяют; среди этих различных систем ускорений ускорения Cii, соответствующие естественному движению, выделяются тем, чт© они должны удовлетворять, кроме того, общему уравнению динамики
N
2 (Pi—щщ) • SPi = о <=1
для всех виртуальных перемещений системы, т. е. для всех 8Pi, определяемых из уравнений (3).
Распределение ускорений, которое для рассмотренного выше состояния движения C0, V0 будет также совместно CO связями, HO не будет совпадать с ,только что определенным естественным распределением Oi, можно выразить через Ui -(-Sa1; эти ускорения должны удовлетворять уравнениям
B*(a + 8a) —cft(®o|QO|*o) = o (? = 1, 2, ..., г),
которые, если принять во внимание линейность Bk и (4'), приводятся к виду
Sft(So) = O (Л=1, 2, ..., г). (5)
Сопоставляя эти уравнения с уравнениями (3), мы видим, что вариации Sct системы ускорений для значений Cii, совместных со связями, векторно тождественны с виртуальными перемещениями, благодаря чему мы можем сказать, что естественное движение опре-
§ 1. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ ГАУССА
391
деляется, вместо общего уравнения динамики, аналогичным уравнением
N
2 (Ft — Itii(Ii) ¦ Oai = 0, (6)
І =S= 1
так как это уравнение справедливо для всех вариаций ускорений, удовлетворяющих уравнениям (5).
Из интерпретации этого уравнения (6) и вытекает принцип Гаусса. Чтобы показать это, сравним две конфигурации Q* и Qil соответствующие одному и тому же начальному состоянию движения C0 и V0. Первая из конфигураций Q* достигается в свободном движении, а вторая Qi достигается за тот же промежуток времени т при ускорениях at, совместных со связями. К концу этого промежутка времени т, который потом мы будем рассматривать достаточно малым, имеем
? = 00 + ^ + ^ + (3),
(t'=l. 2, ... N),
Q1 = Q? + ^ + 2^«< + (3)
где символ (3) означает некоторое количество третьего порядка относительно т; отсюда, обозначая аналогично через (!) количество первого порядка, получим
= у { № — пцщ) + (І) j (/=1, 2, ...,iV);
поэтому для принуждения, соответствующего переходу от свободного движения к любому движению, совместному CO связями, на основании равенства (1) получим выражение
T = (7)
где
N
T= Ssr (^-«Л)9- (8)
После этого возьмем снова общее уравнение динамики (6), которое определяет среди возможных движений естественное, и покажем прежде всего, что оно выражает условие минимума количества у для естественного движения по сравнению CO всяким другим движением, для которого начальное состояние одно и то же, а система ускорений кинематически возможна.
Действительно, уравнение (6), так как F не зависит от а, является не чем иным, как условием 8-у = 0 стационарности f, и мы
392
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
имеем здесь именно минимум функции так как вторая вариация
N
82y = 2 ^ mt 8at • Sai <=і
существенно положительна.
Наконец, можно прямо проверить, что для естественного движения if принимает значение fn, меньшее (и неравное) значения, соответствующего какой-нибудь другой системе ускорений Ui, совместных со связями. Для этой цели заметим сначала, что ускорения аестественного движения в любой момент t0 удовлетворяют соотношениям (4'), которые (в тот же момент и для того же состояния движения Q0, V0) будут также удовлетворяться любой системой ускорений, совместных со связями. Поэтому вариации Lai = Ui — a<n) удовлетворяют уравнениям (5), а уравнение (6), в частности, дает
