Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
и поэтому является периодической функцией времени.
Важно добавить еще, что так как для какой-нибудь функции q одного только элемента а, каковым, например, является среднее движение Tl = к'Ь/а3^, возмущение О<7 при том же порядке приближения определяется равенством
то отсутствие векового нерайенства для элемента а влечет за собой аналогичное свойство для всякой такой функции q и, следовательно, в частности, для среднего движения.
76. Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям п. 73, имеют место также и для задачи п -J-I тел, когда любое тело P подвергается, помимо преобладающего действия центрального тела О, возмущающим притяжениям остальных п— 1 тел P', Р",... Для каждой из этих возмущающих сил имеется потенциал V типа, рассмотренного в предыдущих пунктах. Если ограничиться, как и выше, первым приближением, то для дифференциального уравнения вида (143) будет иметь место распределительное свойство в том смысле, что возмущение любого эллиптического элемента точки P будет суммою возмущений, вызванных каждым отдельным возмущающим телом. При этом предполагается, что каждое из этих тел, как и рассмотренное выше отдельное тело, имеет эллиптическое движение, которое оно имело бы, если бы отсутствовали все остальные тела, за исключением центрального.
364
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
1. Функция Гамильтона для материальной точки (массы 1), движущейся под действием силы, имеющей потенциал U (который может зависеть также и от времени) и отнесенной к осям OX1XiXb, равномерно вращающимся вокруг оси Oxз с угловой скоростью <а, определяется равенством
н = ^ (Pi + Pa + Рв> — “ — хчР^ — U-
2. Показать, что если функция Лагранжа й (q \ q \ t) является относительно q однородной степени tnzfz 1, то соответствующая функция Гамильтона H будет однородной относительно р степени т\[т—1). Проверить это. Как мы видим, при т = 2 функция H будет также однородной второй степени относительно о.
3. Смешанные уравнения Рауса. Эти уравнения получаются из уравнений Лагранжа, если выполнить только частично преобразование Гамильтона (§ 1).
Функция Лагранжа й (q | q | /) зависит, как обычно, от п координат и, конечно, от п их производных q. Положив только для части индексов, например для первых т<^п,
Vh = = 2, ... ,т),
dqn
предположим, что эти т уравнений разрешимы относительно qlt qit ..., дт в виде
qh — ^h (Рь * • * і Pm» Qm +1» • • • > Qn I Q I (ft = 1, 2, ... , т),
и введем, следуя Раусу, функцию
т
Зі = 2 PkQh
Л=1
если qu q-i,... , 'qm будем предполагать замененными соответствующими выражениями, то SR будет функцией от аргументов
Q I Pb • • • > Pm> Чт+Ь • • • » Qn I
Доказать способом, аналогичным способу п. 1, что справедливы тожде-
дЗЇ .. . „ . (дй\ дШ
ства
" ~dfh -\^;і=и-Та
где а есть какой-нибудь из аргументов q или qm+ij ...,qm, и вывести отсюда, что система п уравнений второго порядка
d д2 д2 Л /• і о ч
-----;----з— =0 U — 1, 2, ... ,п)
dt dqi ^qi
равносильна системе п-\-т уравнений (из которых 2т первого порядка и п — т второго) относительно такого же числа неизвестных функций qb..., qn,
Рх""’Рт йМ__дШ_ сЩ_дЖ
dt dqh’ dt~dph (
d 5? dfft n /.IO ч
= 0, (/ = J, 2, ,п — /и),
dt
dQm+j dQm+)
УПРАЖНЕНИЯ
365
Подобно лагранжевым системам, с одной стороны, и системам Гамильтона— с другой, эта система уравнений зависит тоже от одной-единственной функции Sft. Ее можно назвать гамильтоновой относительно переменных ft, ?2, • • •. Чт и соответствующих количеств движения р и лагранжевой относительно остальных q.
4. В виде применения результата предыдущего упражнения рассмотреть случай, когда координаты qlt ... ,qm не входят явно в й и являются, следовательно, игнорируемыми; проверить, что:
1) количества движения pb...,pw будут постоянными; лагранжева часть смешанной системы Рауса, в которой надо положить р= const, представляет собой систему, содержащую только неизвестные функции qm+\, ..., q»,
2) после определения на основании этой последней системы функций
qn можно получить остальные qi,.... qm посредством квадратур.
Ср. гл. V, п. 45.
5. Положим для краткости
Доказать, что это преобразование является вполне каноническим, поскольку из предыдущих формул следует
Такое преобразование, естественное в задаче двух тел, в случае параболического движения служит для устранения особенностей, которые появляются в уравнениях движения, относящихся к задаче трех тел, когда два из них стремятся бесконечно сблизиться (столкновение двух тел). Геометрическое и кинематическое истолкование таких преобразований см. Т. Levi-Civita, Acta math., т. 42, 1918, гл. II, стр. 118—132.
6. Какие угодно преобразования канонической системы. Если вместо п сопряженных переменных р и q подставить 2п каких угодно независимых комбинаций этих же переменных р, q (вообще говоря, неканонических) zit -Z2;..., z2n, полагая
з з
«*= 24 Р- = -2 2пЛ
и рассмотрим преобразование между двумя рядами переменных
определяемое равенствами
