Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
H(p\q) = %(Р)Урі+рі+...+рі,
то гиперповерхности элементарных волн будут гиперсферами с центром в Р.
Если, наоборот, Ж зависит от ориентации элемента, но не от положения центра, что равносильно предположению, что H зависит только от р, то в силу первой группы канонических уравнений, которая сведется к уравнениям Ph = 0, все р будут постоянными, т. е. отдельные элементы движутся параллельно самим себе. Еще точнее, так как во второй группе канонических уравнений
я дН{Р) <Ь-\ «
h~ dph (А —1, 2, .... л)
первые части вследствие неизменности р будут постоянными, то центры отдельных элементов будут двигаться прямолинейно и равномерно в направлении, вообще говоря, наклонном к элементу, а скорость центра будет зависеть от ориентации элемента, а не от положения, которое центр занимает в пространстве.
в) Элементарный случай распространения сферических волн. Рассмотрим несколько ближе случай, когда функция % прямо сводится к постоянной, для чего требуется, чтобы характеристическая функция, по крайней мере до постоянного множителя Ж, была равна
V РхЛ-Рз + ••• + Pn'
Скорость, с какой перемещаются отдельные элементы, которые, как мы знаем, остаются параллельными самим себе, имеет составляющие
= (А = 1,2.....и),
откуда мы видим, что каждый элемент перемещается по направлению своей нормали и все имеют одну и ту же (постоянную) скорость | Ж |; поверхность волны и (Р, t) является сферой с центром в P и радиусом \ Ж\ t При одинаковой продолжительности распространения эти сферы будут между собой равны, каков бы ни был центр излучения.
Тем самым ход распространения за какой-нибудь промежуток времени становится непосредственно очевидным. Однако в качестве подготовки к более общим рассуждениям необходимо уточнить понятное само по себе выражение, которое мы поясним, обращаясь для простоты к обычному про-странству (п — 3),
376
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Элементы любой связки с центром Р, начиная с момента t = О, распределятся в конце какого-нибудь промежутка времени t по поверхности сферы й (Р, t) с центром P и радиусом | Ж | /. Если в момент t каждая точка Q этой сферы рассматривается как новый центр излучения, то со2 элементов с центром Q, начиная с момента t, к концу следующего промежутка времени t'«t) составят сферу и (Q, t') с центром Q и радиусом | Ж \ t'. Эти ооа сфер и (Q, Ґ), равных между собой и имеющих центрами различные точки о (P, t) (поверхность вторичной волны), имеют в качестве огибающей совокупность двух сфер с общим центром P и радиусами соответственно | Ж | (t— /') и | Ж | (^ + Ґ), вторая из этих сфер будет, очевидно, поверхностью волны, на которой будут распределяться элементы связки с центром в P к концу полного промежутка времени
г) Образование гиперповерхностей волн как огибающих вторичных волн. Возвратимся к общему случаю. Имея в виду распространение только что рассмотренными сферическими волнами, ограничимся в наших рассуждениях теми случаями, когда функция
H(Plq) = K(F)V РІ +Pt + ---+РІ
такова, что Ж (F), не будучи более постоянной, как выше, изменяется вместе с F так незначительно, что качественное поведение элемента с точки зрения свойств огибающей остается аналогичным поведению в элементарном случае „в\ Выражаясь более точно, предположим, по крайней мере для некоторого промежутка времени, справедливыми следующие две гипотезы:
1) Если в любой момент t различные точки Q какой-нибудь гиперповерхности волны <j(P, t) рассматриваются как новые центры, то оо»-1 гиперповерхностей вторичных волн a (Q, t'), которые из нее образуются к концу следующего промежутка времени t', имеют в качестве огибающей гиперповерхность а' с одной или большим числом полостей.
2) Если обозначим через / совокупность OO2ra-3 элементов, которые в момент t имеют свои центры в различных точках Q фронта и (Р, t), то совокупность V стольких же элементов, происходящих от / в последующий промежуток времени t', будет такова, что, кроме указанной огибающей о', не будет содержать никакого другого многообразия из со»-1 соединенных элементов с основанием наибольшей размерности п — 11J.
Приняв эти две гипотезы, заметим, что к совокупности / принадлежат, в частности, все элементы гиперповерхности волны а (Р, t), которые к концу промежутка Ґ, начиная с момента t, пойдут на образование гиперповерхности волны <з(Р, t-\-tr). Поэтому элементы этой гиперповерхности будут принадлежать все к I'. Так как и (Р, t~\-t'), если рассматривать ее как совокупность элементов, определяет многообразие из оо»-* соединенных элементов с основанием ооп-1, а с другой стороны, по предположению, единственное многообразие, которое содержится в V, определяется огибающей а', то мы заключаем, что гиперповерхность волны а (Р, t+t') совпадаете огибающей й' или, по крайней мере, с одной из ее полостей.
Таким образом, здесь, как и в элементарном случае, гиперповерхность волны <j(P, t-\-t') будет образована как огибающая (полная или неполная) оо»-1 вторичных волн a (Q, ('), которые возникнут в момент времени t
1) Если обратимся к общей теории преобразований прикосновения, и именно к известной теореме С. Ли (см. Lie — Engel, Theorie der Trans-formationsgruppen, т. II, стр. 170), и, кроме того, примем во внимание, что однородная гамильтонова система определяет группу с»1 преобразований прикосновения, каноническим параметром которой является t, то Легко увидим, что предположения „1“, »2* будут непосредственно удовлетворены, если до момента i. -)-1’ включительно гессиан функции H будет иметь ранг п — 1 (ср, стр. 373),
