Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
q( = тНг + Qiti,
Пі
(і = I, 2, 3).
з
з
2 Pi аяі =2? *ч-+dQ-
І = 1
Ph = cPft (г 10» ?h = 1M* I*) CA = I. 2,...,гі),
то каноническая система
366
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
после преобразования принимает вид
2 п
-Щ- + \zk. t] 4- 2 [zk, ZjI Zj = О (ft = I, 2,..2л),
J=i
где подразумевается, что H выражена в функции от г, а [ ] означают, как обычно, скобки Лагранжа, определенные в п. 15. Проверяется непосредственно. Cm. также Н. Andoyer, Cours de Mecanique c6leste, т. I, Paris, 1923, стр. 28.
7. Интегральные инварианты линии. Доказать, что условия,
которым должны удовлетворять п функций і,- (xt, х,>.....хп \ t) для того,
чтобы криволинейный интеграл
Jn
S Я dxi>
4=1
распространенный на произвольную линию (субстанциальную), даже незамкнутую, был инвариантом относительно системы дифференциальных уравнений
//у.
-^- = Xi(x\t) (/=1,2,...,/1),
определяются равенствами
dii Д дХ
V4 ол і
+ ZiiJid = 0 с = 1-2
dt
J=I
Эти интегральные инварианты, действительные для каких угодно кривых, замкнутых или незамкнутых, называются абсолютными, в противоположность относительным, которые имеют инвариантный характер только для замкнутых линий интегрирования, пример которых мы дали в п. 34.
8. В виде приложения предыдущего упражнения доказать, что для канонических систем с характеристической функцией, не зависящей от t и однородной первой степени относительно р, криволинейный инвариант
J it PhdIh
L Ь=1
есть абсолютный инвариант (тогда как для любой канонической системы он будет только относительным).
9. Дана каноническая система с характеристической функцией H(p\q), не зависящей от /; выберем в фазовом пространстве Ф2п любую изоэнерге-тическую гиперповерхность H=E и, предположив, что H содержит, по крайней мере, одно из р, например рп, представим себе уравнение H=E разрешенным относительно рп в виде
Pn =9(9 I Pu Рг......Pn-il?)-
Доказать, что интеграл
° = J JE dqi Aq‘- ''' dIndP\dP’± ¦ ¦ ¦ dPn-1-
УПРАЖНЕНИЯ
367
распространенный на какую-нибудь (субстанциальную) область а рассматриваемой изоэнергетической поверхности, является инвариантом (абсолютным). Достаточно заметить, что
дер 1
дЕ ~ дН-
дРь
и применить к дифференциальной системе, порядок которой после понижения при помощи интеграла энергии H=E равен (2п — 1).
10. Гамильтоновы преобразования в случае лагран-жевой функции, не зависящей от t и однородной первой степени относительно q. В п. 41 гл. V мы имели случай заметить, что если функция 2(q |<?U) является однородной первой степени относительно q, то лагранжева система
d d2 д2
di dqh dqh
:0 (ft = I, 2,..., л), (1)
наверное, не будет нормальной; если, кроме того, функция 8 не зависит от t, то справедливо тождество
2 = 0‘
Й = 1
Если существует эта зависимость, то к системе (1) можно присоединить какое-нибудь новое уравнение с п неизвестными функциями q (t); как увидим далее (ср. упражнение 13), представляет интерес, в частности, случай, когда в виде добавочного уравнения принимается соотношение 8 = 1. Если бы мы приняли функцию 8 равной какой-нибудь постоянной, не равной нулю, то можно было бы эту постоянную принять за единицу, деля уравнения (1) и, следовательно, 8 на йо- Назовем системой Гюйгенса (оправдание такого названия отложим до упомянутого упражнения 13) систему
Sft = O, 8 = 1 (ft= 1, 2, ..., п). (2)
Если положим теперь 501 = 82/2 и примем 9JE за новую функцию Лагранжа, то без труда увидим (проверку предоставляем читателю), что система
= 0, 2»г=1 (ft= 1, 2,.... п) (20
dt dqh dqh
равносильна системе (2). Необходимо заметить, что, так как 8 является однородной функцией первой степени относительно q, 331 будет однородной функцией второй степени относительно тех же аргументов и что, вообще говоря, ее гессиан не будет тождественно равен нулю. В этом последнем обстоятельстве можно убедиться на примере, который, впрочем, важен сам по себе, полагая 8=У”2Г, где T означает определенную положительную квадратичную форму относительно q, каковой является живая сила голоном-ной системы со связями, не зависящими от времени.
Если гессиан функции 331 не равен нулю, то к системе (2') будет при-
менимо гамильтоново преобразование (п. 1), в силу которого п лагранже-вых уравнений, которые вместе с добавочным уравнением 2931 = 1 образуют
368
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНВНИЯ
систему (2'), преобразуются в гамильтонову систему. Характеристическая функция этой системы определяется равенетвом
п
К(Р\<1)= 2 Рі9і — Ш,
і = і
где переменные Pi определяются из соотношений
Pi — • (* — ^ и)
$Чі
или, в силу того, что SDl = 82/2 и 8 = 1, из соотношений
Pi==P- (1 = 1,2,..., п). (3)
Sqi
Так как 501 есть однородная функция второй степени относительно q, то уравнение, определяющее К, приводится к виду
К(р \q) = W(q\ q)\
с другой стороны (упражнение 2), функция К будет однородной второй степени относительно р.
В силу этого соотношение 2Ш = 1 преобразуется в другое соотношение 2К= 1, поэтому система (2'), а потому и первоначальная система Гюйгенса (2) равносильны системе
