Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
^ = 2^=1 <й = 1’2.п)¦ (2">
Ho можно сделать следующий шаг, полагая H = Y^K, в силу чего
функция Н(р I q) совпадет с первоначальной функцией 8 (q I q), из которой исключены q при. помощи соотношений (3) и уравнения 2 = 1, а с другой стороны, она будет однородной первой степени относительно р. После этого легко проверить, что система (2"), а следовательно, также и первоначальная система (2) равносильны системе
Ph= . Ih=H= I (А = 1, 2, ..., и); (2"')
отсюда мы заключаем, что в исключительном случае, когда функция 2 не
зависит от времени и является однородной первой степени относительно q, достаточно присоединить к соответствующей лагранжевой системе, самой по себе не являющейся нормальной, уравнение S = 1, чтобы сделать возможным гамильтоново преобразование. Характеристическая функция Н, к которой мы таким образом приходим, будет не чем иным, как первоначальной функцией 8, выраженной посредством р при помощи соотношений (3) и уравнения 8 = 1. Рассматриваемая система равносильна гамильтоновой системе, соответствующей функции Н, вместе с уравнением H= 1.
Надо заметить, что, в то время как для гамильтоновой системы уравнение H= 1 является первым интегралом, в котором произвольная постоянная имеет частное значение (интеграл обобщенной энергии), равенство 8 = 1, которое мы присоединили, ие будет первым интегралом для лагранжевой системы.
УПРАЖНЕНИЯ
369
Наконец, так как H является однородной функцией первой степени относительно р, то уравнение H= 1 можно написать также в биде
это равенство нам пригодится, когда мы будем рассматривать упражнение 13.
11. Канонические однородные системы. Этим названием мы будем обозначать канонические системы с характеристической функцией, не зависящей от / и однородной первой степени относительно р. К системам такого типа мы пришли в предыдущем упражнении. Здесь, независимо от их происхождения, мы укакем на одно их важное свойство.
В п. 35 мы видели, что общее решение
Ph I 9°)- Qh = UlP0I Я0) (Л = 1, 2,..., и),
в котором за постоянные интегрирования какой-нибудь канонической системы приняты количества движения р° и координаты q°, соответствующие начальному моменту, определяет каноническое преобразование между сопряженными величинами ра, и р, q, т. е. влечет за собой тождество вида
п п
2^fc ^ft = 2 Pld4l + %dt^dO.,
hr= I
где H0 и Q обозначают две функции от 4/z + 1 аргументов р, q, p0, qa и t. Покажем теперь, что в случае характеристической функции H(p\q), не зависящей от / и однородной первой степени относительно р, указанное выше каноническое преобразование является однородным, т. е. (п. 18) влечет за собой тождество
п п
2 PhdeIh= 2 РІК- (5)
7»=1 Л=1
Для доказательства этого утверждения, вместо того чтобы начинать, как в п. 35, с интегральных формул, даваемых методом Гамильтона — Якоби, заметим, что равенство (5) выражает инвариантность пфаффиана
п
2 PhdfIh
л=і
при изменении в нем величин р и q, рассматриваемых как функции t, определенные гамильтоновой системой. Поэтому достаточно доказать, что в силу соотношений
дН • дН , 0
рЬ~ Qqh ’ qb~ dph (Л — 1, 2....п)
производная по t от указанного пфаффиана будет тождественно равна нулю.
Для этой цели прежде всего удобно сохранить символ d для дифференцирования по времени и обозначить через произвольные приращения начальных координат до, через Qqh — приращения координат q на основании их интегральных выражений. В силу этого пфаффиан, инвариантность которого нужно доказать, будет иметь вид
2 PhbtIv ft=і
24 Зак. 2368. Т. Леви-Чивига и У. Амалыш
370
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
с другой стороны, оба оператора d и Ь, как относящиеся к независимым переменным, будут обладать свойством переместительности. Таким образом, мы имеем
а отсюда, Применяя оператор 8 и делая обычные приведения, мы выводим соотношение
которое при сопоставлении с равенством (6) доказывает утверждение.
Заметим, что это является только иной формой результата, полученного в упражнении 8.
12. Доказать, что для однородной канонической системы (предыдущее упражнение) существенными являются только отношения количеств движения р в том смысле, что двум начальным фазам, определяемым одними и теми же координатами q\ и fколичествами движения ph, рph, пропорциональными между собой, соответствуют решения, для которых в любой момент координаты совпадают, а моменты остаются пропорциональными между собой с тем же коэффициентом пропорциональности р.
13. Геометрическая теория световых волн1), а) Элементы пространства конфигураций. Будем рассматривать qlt q-i,qn как ортогональные декартовы координаты евклидова пространства Гп п измерений, как мы делали это в п. 61 гл. V. В уравнении любой гиперплоскости к
постоянные ph н С, как известно, пропорциональны соответственно направляющим косинусам aft нормали ч к и и расстоянию W гиперплоскости к от
!) L і е, Die infinitesimalen Beruhrungstratisformationen der Mechanik, Leipz. Ber., 1889, стр. 277—289. Lіе—Scheflers, Geometrie der Beruhrungs-transformationen, Leipzig, 1896, стр. 16, 97, 102. Vessiot, Sur !'interpretation m?canique des transformations de contact infinitesimales, Bull, de la Soc. math, de France, т. XXXIV, 1906, стр. 230—269.
