Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
n
n
ft=l
ft=I
или на основании канонической системы
п
п
(6)
Ho в силу предположенной однородности мы имеем п
п
п
ft=l
Упражнения
371
начала (коэффициентам нормального уравнения плоскости). Для определенного направления ч имеем
постоянные а можно принять за координаты гиперплоскости я (число их равно (п + 1). н0 они связаны известным соотношением а\ -J- о| + ...+ а^=1).
Известно также, что для гиперповерхности уравнение которой
имеет вид
так что для направляющих косинусов а% нормали ч к гиперповерхности Kft-I в точке qh и для расстояния W касательной гиперплоскости от начала будем иметь выражения
Эти п + 1 уравнений, если q рассматриваются в них как избыточные параметры, связанные равенством (7), дают параметрическое представление гиперповерхности Vn-\, как огибающей гиперплоскостей.
Ho очевидно также, что (по крайней мере внутри некоторой области изменения) всякой полупрямой с направляющими косинусами aft, выходящей из начала, однозначно соответствует на гиперповерхности V„-j некоторое значение для точки соприкосновения гиперплоскости, касательной к Vn-X и перпендикулярной к рассматриваемой прямой; достаточно представить себе в последнем из равенств (8) все q выраженными через для того, чтобы иметь соотношение между aft и w, которое определяет гиперповерхность Vn-I как огибающую гиперплоскостей и представляет собой так называемое тангенциальное уравнение гиперповерхности Vn-*.
После этих предварительных замечаний перенесем в пространство Гге определение элемента, данное в п. 18 для пространства п +1 измерений, т. е. будем называть элементом совокупность точки P и гиперплоскости it, проходящей через нее (или, если мы хотим иметь более наглядное геометрическое изображение, области гиперплоскости я (площадки в окрестности точки P)). В качестве координат любого элемента F здесь можно принять Декартовы координаты q его центра P и направляющие косинусы ah нормали ч к я, или постоянные ph, пропорциональные направляющим косинусам ад.
Pb
С
(h = 1, 2,..., п);
/(?!> ?2.....^=0>
уравнение касательной гиперплоскости в данной точке qb будет
п
(7)
24*
372
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В координатах д, р условие соединения двух бесконечно близких элементов q, р и q -j- S^1 р -j- Ьр (т. е. условие, необходимое и достаточное для того, чтобы центр второго элемента лежал на гиперплоскости первого) принимает вид
п
SpA=0; (9)
Л=1
в пространстве Гп, по теореме Ли, приведенной в п. 18, наибольшая размерность многообразий соединенных элементов есть п — 1. Эти многообразия сю”-1 соединенных элементов разделяются на п категорий, различающихся между собой по размерности (точечного) основания или геометрического места центров соответствующих элементов, которое изменяется от минимума 0 (соответственно связке элементов с заданным общим центром) до максимума п — 1 (соответственно многообразиям со”-1 элементов одной и той же гиперповерхности).
б) Геометрическая интерпретация решений однородной канонической системы. Вместо того, чтобы обращаться, как в п. 3, к фазовому пространству A2n, мы будем истолковывать переменные q и р (точнее, взаимные отношения этих последних) как координаты элемента F пространства конфигураций Vn. При таком истолковании, всякое задание переменных q и р в функции от t определяет в пространстве Гп движение элемента F1 т. е. определяет в любой момент не только положение его центра Р, HO также и положение его гиперплоскости. Конечно, это справедливо для решения q (t), р (t) произвольной дифференциальной системы относительно переменных q, р; но если речь идет об однородной канонической системе, то результат упражнения 12 позволяет добавить, что в этом случае движение элемента F будет определено его начальным положением Fв. Действительно, когда задано F0, т. е. положение центра P и положение гиперплоскости п элемента F в начале движения, то тем самым будут определены начальные значения направляющих косинусов нормали v гиперплоскости я или, что то же, взаимные отношения начальных значений р° величин р\ в силу результата упражнения 12 этого достаточно для того, чтобы были последовательно определены в любой момент координаты q и взаимные отношения величин р, т. е. положение центра элемента F и положение его гиперплоскости.
Можно сказать еще, что инвариантный характер, которым по отношению к однородной канонической системе согласно упражнению 11 обладает пфаффиан
П
2 PhbIh' й=1
обеспечивает нам то, что элементы, соединенные вначале, т. е. удовлетворяющие соотношению (9), остаются соединенными в течение всего времени движения.
Так, в частности, оо»-1 элементов, принадлежащих в данный момент, от которого условимся отсчитывать время, к одной и той же связке с центром P0l по истечении известного промежутка времени t (достаточно короткого для того, чтобы не возникли особые обстоятельства, которые мы, по крайней мере отчасти, будем иметь случай уточнить) будут образовывать многообразие со»-1 соединенных элементов; к этому можно добавить, что, вообще говоря, это многообразие будет иметь основание с наибольшим числом измерений, т. е. некоторую гиперповерхность. Легко видеть, что это обстоятельство обязательно будет иметб место, если предположить, что гессиан характери-
