Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
2 2 По
-.,V1- xJ I.. xJ + ! I V xJ 1
aj~'K ві + 1-* ,? ’
где в сумме S' должны быть пропущены члены с индексами j и /+I, то обнаружим, что функция ср(X) стремится к +оо, когда X стремится, возрастая, к а^, и к —со, когда X стремится, убывая, к + Поэтому tp (X) исчезает согласно утверждению при некотором значении qj, внутреннем для интервала (a^ aJ+1); аналогично, записав эту функцию в виде
УПРАЖНЕНИЯ
SSl
найдем, что она обратится в нуль при некотором значении qn < ап. Очевидно, что эти п значений qn, для которых имеем
суть не что иное, как корни полинома F (X), который, если иметь в виду, что коэффициент при X” равен 1, можно написать в виде
Значения qh, которые при заданных значениях постоянных at будут однозначно соответствовать произвольной совокупности п декартовых координат Xi, т. е. произвольной точке P пространства, называются эллиптическими координатами точки Р.
Ho для оправдания названия координат необходимо, обратно, показать, что всякой совокупности п чисел qh, выбранных соответственно в интервалах (18) с исключенными концами, однозначно соответствует точка, по крайней мере в надлежащим образом ограниченной области пространства. В действительности легко показать, что соответственно выбранным qlt будут определены не самые значения декартовых координат Х{, а только значения их квадратов.
Для этой цели приравняем два выражения (16), (17) функции <р (X) и)
по умножении их на некоторую определенную разность а^—\, заставим
стремиться параметр X к аг. Первое в пределе даст непосредственно что касается второго, то достаточно применить к отношению («* — X) //(X) правило Лопиталя (имея при этом в виду, что в силу равенств (19), (15),
Р(аі)Ф О и f' ifli) Ф 0), чтобы заключить, что
Это и будут искомые выражения для координат х в функциях от q, если в них под F(X) подразумевается выражение (19). Мы имеем, таким образом, одно-однозначное соответствие между п эллиптическими координатами и точками пространства со всеми положительными декартовыми координатами (т. е. из первого квадранта при п = 2, из первого октанта при я = Зит. д.).
Остается оправдать название этих координат эллиптическими. Оно объясняется природой координатных гиперповерхностей qh = const, т. е. геометрических мест точек, в которых одна из координат q, например qh, сохраняет одно и то же значение.
В силу самого определения координат q декартово уравнение соответствующей координатной гиперповерхности имеет вид
Отсюда видно, что при h=n, если все знаменатели положительны, мы имеем эллипсоид, при h = 1, 2,..., п—1—центральную поверхность второго порядка иного вида; все эти поверхности второго порядка будут софокус-ными, так как соответствующие фокальные многообразия зависят исключительно от разностей знаменателей, которые при изменении q не изменяются.
Если будем рассматривать две различные эллиптические координаты qh и qk одной и той же точки Xi, то будем иметь
(А = 1,2,..., п),
F (X) = (X — gi) (l — q2)... (k — qn).
(19)
з_ F(Cti)
Г (Ъ)
(г = 1, 2,... ,я). ?0)
382
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
вычитая почленно и деля обе части на разность qh — qk (наверное, не равную нулю в различных интервалах (18), мы получим п
А
= 0 (Л, ft = 1,2,... п\кфк) (21)
к—?*)
Предоставим читателю выполняемую элементарными средствами поверку, что эти тождества выражают тот геометрический факт, что поверхности второго порядка qh = const, qk = const (для всякой пары неравных индексов h, А) будут взаимно ортогональны. Немного позже мы их получим, найдя, что в выражении линейного элемента
я
rfs3 =
пространства (которое здесь является необходимым в силу упражнения 19) отсутствуют члены с произведениями дифференциалов dq, если выразить ds* в функции от q и dq.
Именно, для вычисления такого выражения ds2 необходимо предварительно выразить в функции от q количество
2(5^ (* = 1. 2...., „), (22)
к которому приводятся левые части равенств (21) при h = ft. Для этой цели приравняем еще раз два выражения (16), (17) функции <р (X) и, взяв производную по X, положим X = qh. Таким способом, принимая во внимание, что на основании выражений (15), (19) имеем
Ftih) = 0, /ШФО (А =1,2.....в),
мы получим
°‘ = -7Ы й-1,2,...,«),
или в явной форме
с _ (<?) — яь) ¦¦¦ (Qh-i — qh)(fe+i—Ян) • • • (Чп—4h) /99,4
h (ai — Як) (a2 — qh)... (an — qh)
(A — I, 2,..., ті).
Возьмем теперь логарифмическую производную от обеих частей равенства (20), рассматривая в нем х и q как декартовы и эллиптические координаты одной и той же текущей точки, и примем во внимание выражение (19) для F. Таким образом получим
п
2dXi_ у dqh ,
Xi jUqA—at'
Й=1
умножая обе части на Xi/2 и возводя в квадрат, получим равенства
А________
(qh — аі) (Як — аі)
УПРАЖНЕНИЯ
В83
Теперь достаточно просуммировать это равенство по индексу і и, изменив порядок суммирований по і и по h, k, принять во внимание уравнения (21),(22), чтобы прийти к искомому выражению
«
**=42°»**» (23)
