Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
в) Пользуясь «скобочными обозначениями», доказать, что из соотношения Fiiv = Ayill- Alli v следует соотношение Fafit v + Zrpvitt + ^va,? = °- (Половина уравнений Максвелла!)
Задача 3.18. Доказать, что для любого тензора X с двумя индексами
^ a? = +
где скобки ( ) и [ ] означают соответственно симметризацию и антисимметризацию заключенных в них индексов. Доказать также, что в общем случае
^a?v Ф ^(a?v) + ^[a?vl-
Задача 3.19. Доказать, что дельта-символ Кронекера —тензор.
Задача 3.20. Доказать, что существует единственный с точностью ДО умножения на постоянную тензор ea?Ya, полностью антисимметричный по всем своим 4 индексам. Обычно его выбирают так, что в координатах Минковского eOm=I- Каковы компоненты тензора е в общей системе координат с метрикой gMV?
Задача 3.21. Доказать, что в локально ортонормированной системе координат
ea?V6 = -ea?V6-
Как выглядит аналогичное соотношение в произвольной системе координат с метрикой
Задача 3.22. Вычислить
eHvpoelxvp0' зо
ГЛАВА 1
Задача 3.23. Доказать, что для любого тензора Aa р ect?v« AaviAKAykA60 = Vx0 det І A«? і, где І Аар І — матрица с компонентами Лар.
Задача 3.24. Доказать, что четыре вектора u, v, w, х линейно-независимы в том и только том случае, если иДуДшД Дх=?0. Доказать также, что произведение и ДуД \їДх четырех линейно-независимых векторов u, v, w, хс точностью до константы совпадает с полностью антисимметричным тензором е. (Произведение и Д V двух векторов по определению равно их антисиммет-ризованному прямому произведению, т. е. иДу = іі(?)У — v(g)u.)
Задача 3.25. Пусть F— антисимметричный тензор второго ранга с компонентами Fvv. Построим по F другой антисимметричный тензор второго ранга *F (так называемый тензор, дуальный тензору F), определив его следующим образом:
*F = у ® ev.
Доказать, что *(*F) = — F.
Задача 3.26. Доказать, что
Задача 3.27. Тензор o^"" задан соотношением
1-6^...64 р р
б^-"^ = det :
р...а
Доказать, что если число верхних (или нижних) индексов больше 4, то этот тензор тождественно равен нулю.
Задача 3.28. Доказать, что
C=-Ielivpa^P-
и обобщить это соотношение на случай тензоров других
рангов.
Задача 3.29. Доказать, что если антисимметричный тензор Pa^ является бивектором (т. е. pap = A?a??l), то
pa?pVO р<*Ypa? pafip?у _ Q
(соотношения Плюккера). ЗАДАЧИ
16
Задача 3.30. Определим в 4-пространстве 3-мерный элемент объема на гиперповерхности ха = ха(а, b, с) как d3^ = (1/3!) х X Zm^ydadbdc [д (х?, ху)/д (а, Ь, с)], где последний множитель представляет собой якобиан 3x3. Вычислить компоненты элемента объема еР2цДля пространственноподобной гиперповерхности X0 = const, параметризованной так, что xl = a, х2 = Ь, х3 = с.
Задача 3.31. Доказать, что инвариантный собственный элемент объема в 4-мерном пространстве определяется соотношением
dV = (— gf dlx,
где дифференциал dix = dxdydzdt вычислен в системе координат с метрикой ^piv.
Задача 3.32. Доказать, что собственный 3-мерный элемент объема наблюдателя, движущегося с 4-скоростью и, имеет вид
d3V = (—gf u°d3x и является скалярным инвариантом.
Задача 3.33. Какой вид имеет инвариантный элемент объема контравариантного импульса d*P в 3-мерном импульсном пространстве? Какой вид имеет инвариантный 3-мерный элемент объема на «массовой оболочке», т. е. при наложении ограничения (— P-P)'/* =/и?
Задача 3.34. По данным наблюдений группа из N частиц занимает в 6-мерном фазовом пространстве объем dxdydzdPxdPy х X dPг, в силу чего плотность частиц 9Ї в фазовом пространстве определяется соотношением
N = Шх dy dz dPxdPydPz.
Доказать, что плотность частиц SfJ лоренц-инвариантна, т. е., что все наблюдатели получат для 9Ї одно и то же числовое значение.
Задача 3.35. Векторное поле Ja (xv) удовлетворяет уравнению Ja,а = 0, а его компоненты Ja на больших расстояниях от начала координат убывают быстрее, чем г 2.
а) Доказать, что величина $ J°d3x постоянна по времени.
б) Доказать, что интеграл ^ J°d3x — скаляр, т. е. что
\j°d3x = \j?'d3x'. ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В специальной теории относительности электромагнитное поле описывается антисимметричным тензором электромагнитного поля (тензором Максвелла) Fvv. В любой лоренцевской системе отсчета компоненты тензора Fvv связаны с напряженностями электрического и магнитного полей E и В в этой же системе отсчета соотношением
О Ex
/THV _
— Ex О
— E« — Bz — Ez Ву
ЕУ В* О
Bx
— ВУ Bx о
где ц, —индекс строки, a v —индекс столбца. Уравнения Максвелла можно представить в виде
Fvv <v = injv,
^a?, у + Руа, ? + ^?-y, a = О,
где Jv = (р, /) —плотность 4-тока. Сила Лоренца для частицы с зарядом е, 4-импульсом р и 4-скоростью и равна
Плотность энергии
djp dx
= eF^ «v.
g = (?2 + 52)/8л, вектор потока энергии (вектор Пойнтинга)
S = (Ё X В)/4л и 3-мерный тензор напряжений
T1' = [— (EiE' + BiBJ) + ~ W (E2 + S2)] / 4л образуют тензор энергии-импульса электромагнитного поля Piv = (FmFva -I F^FaA / 4л ЗАДАЧИ
