Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
16
Задача 2.10. Рассмотрим реакцию А-+-В + С (с массами частиц тА, тв, тс).
а) Пусть частица А покоится в лабораторной системе отсчета. Доказать, что в этой системе отсчета частица В обладает энергией Ев = (т*А + т*в — тЪ)/2тА.
б) Атом с массой М, находящийся в состоянии покоя, испускает фотон с энергией Ziv и переходит в состояние покоя с энергией M — б. Доказать, что hv < б. Почему в эффекте Мёссбауэра Av = б?
в) Частица А распадается, двигаясь в лабораторной системе отсчета. Найти соотношение между углом, под которым испускается частица В, и энергиями частиц А и В.
Задача 2.11. Рассмотрим реакцию 1+2->3 + 4. По определению лабораторной называется система отсчета, в которой P2 = * 0. Системой центра масс (ц. м.) называется система отсчета, в которой />?'"' +/?'=0. Доказать, что:
а) ?пол„ = К + «1 + 2т2Е1)>/*,
б) El м- = [(?пЦолМ„)2 + т\- т|]/2?полн>
В) P1 == ITl2P J Епопну
Г) 7ц.м.==(?і+т2)/?полМн (Уцм. — скорость ц. м. в лабораторной системе отсчета, уц.м =
= (I-OU)-'''),
Д) Уц.м. = PlZ(E^m2).
Задача 2.12. Рассмотрим упругое столкновение частицы с массой /и, со стационарной частицей с массой т2 < In1. Пусть Фнакс — максимальный угол рассеяния частицы mv При нерелятивистских расчетах sin iOim3kc = т2/т1. Доказать, что этот результат остается в силе и при релятивистских расчетах.
Задача 2.13.
а) Двигатели ракеты создают постоянное ускорение Ig1 (относительно мгновенно сопутствующей ракете инерциальной системы отсчета). Ракета стартует из состояния покоя вблизи поверхности Земли. Как далеко улетит ракета от Земли (расстояние измеряется в земной системе отсчета) за 40 земных лет? Как далеко она улетит за 40 лет, измеряемых в системе отсчета, связанной с ракетой?
б) Вычислить собственное время, которое потребуется пассажирам космического корабля, чтобы удалиться от Земли на рас- 24
ГЛАВА 1
стояние 30 000 св. лет к центру Галактики. Предполагается, что первую половину пути космический корабль разгоняется с ускорением lg, а вторую половину пути—тормозится с ускорением lg.
в) Какая доля начальной массы ракеты может приходиться на полезный груз в п. «б»? Предполагается, что космический корабль обладает идеальными двигателями, способными превращать массу покоя в излучение со 100% эффективностью и выпускать идеально коллимированные пучки фотонов.
Задача 2.14. До какой максимальной энергии может разогнать электроны циклотрон, работающий на постоянной частоте с ускоряющим потенциалом У?
Задача 2.15. Открыто новое поле Л* (xv), сообщающее частице с массой т, находящейся в точке Xі, 4-ускорение a? = du^/dx= = ITr1Fii(Xv). (Обращаем внимание читателя на то, что Fix не зависит от uv.) Доказать, что существование такого поля противоречит специальной теории относительности. ГЛАВА З
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ, ИНВАРИАНТЫ И ТЕНЗОРЫ В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Пространство-время в специальной теории относительности можно описывать при помощи не только «инерциальных» координат, или координат Минковского, но и более общих (криволинейных) координат
где jcv — координаты Минковского, а /^ — четыре произвольные функции. Нетрудно показать, что базисные векторы и компоненты векторов в новых координатах связаны с базисными векторами и компонентами векторов в старых координатах соотношениями
_ дх» _ дха'
у а' — _у» у» — их у а'
дх^ ' dxF1'
Иначе говоря, матрица преобразования
К'^ dx?'\dxa
заменяет менее общие матрицы Лоренца (применимые лишь к преобразованиям между двумя системами координат Минковского).
Для общих координат по-прежнему остается в силе соотношение A-B = Am,/^, но соотношение Aix = TImivZIv не выполняется. Каждой системе координат соответствует метрический тензор с компонентами такой, что ds2 = g^dx^dx^, в силу чего
Av, = g^Av и, следовательно, A-B = ^vAi1Bv. Заметим также, что Av = ^Ayi, где ^v-матрица, обратная матрице gjj,v.
Формально тензор можно определить различными способами. Для наших целей достаточно сказать, что тензор представляет собой геометрический объект, обладающий, подобно вектору, компонентами, численные значения которых различны в разных координатных системах. Тензор обладает 4" компонентами, где й — ранг тензора (число «вакантных мест», или индексов, для ком- 26
ГЛАВА 1
понент). Индексы могут быть контравариантными или ковариант-ными, например: Tv-"1, F11v, Ra^y6, G/. При преобразовании тензоров на каждый индекс «затрачивается» одна матрица:
G^- = AVAVpGi
Тензоры можно «свертывать» (суммируя по одному ковариантно-му и одному контравариантному индексу) и умножать, образуя прямые произведения, на другие тензоры или на себя. Обе операции порождают новые тензоры:
Qnv == Raviav< Av = GvvBv, Fliv = AviBv.
Особый случай представляет свертка с метрическим тензором; как и в соотношениях между ковариантными и контравариантными векторами, результат такой свертки принято обозначать тем же символом, что и исходный тензор (например, Fvv=^gvaFva). Тензорное выражение, не содержащее свободных индексов (например, FvbvAvAv, RfiyF^ или АаВ$ ga$), является скаляром и инвариантом во всех системах отсчета. По аналогии с безындексными обозначениями векторов (А означает вектор Av) вводятся безындексные обозначения тензоров (Т означает тензор Tliv). В обоих случаях существование ковариантных или контравариантых индексов должно быть ясно из контекста.
