Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
16
Задача 1.12. Введем -мнимую координату w = it. Доказать, что поворот на угол 0 в плоскости xtw (і — 1, 2, 3), где д —чисто мнимое число, соответствует чистому лоренцевскому «бусту» в координатах і, X, у, г. Как скорость буста v связана с углом д?
Задача 1.13. Доказать, что кривая
x = \r cos d cos ф dk, у = J г cos d sin ф dX, Z = $ г sin d d"k,
где г, Ф и ф — произвольные функции от К, представляет собой изотропную кривую в специальной теории относительности. При каких условиях эта кривая будет изотропной геодезической?
Задача 1.14. Доказать, что 4-ускорение наблюдателя dua/dx имеет лишь 3 независимые компоненты. Вывести соотношения, связывающие эти 3 компоненты с тремя компонентами обычного ускорения, которое наблюдатель измерил бы ньютоновским акселерометром в своей локальной системе отсчета.
Задача 1.15. Записать в инвариантном виде величину ускорения, измеренного в системе отсчета наблюдателя.
Задача 1.16. С точки зрения инерциального наблюдателя 0 частица движется с 3-скоростью и и 3-ускорением а. Другой инерциальный наблюдатель 0' движется с 3-скоростью v относительно наблюдателя 0. Доказать, что измеренные наблюдателем 0' компоненты ускорения частицы, параллельные и перпендикулярные 3-вектору V, равны
(1 -V-UY
fl'i = -V\ P1 - P X (а X и)1 (1 — V • uY
Задача 1.17. Наблюдатель испытывает постоянное ускорение g в направлении х. Зададим для него систему отсчета (t, х, у, 2) следующим образом: 1) наблюдатель находится в точке х — у = = Z = O и / — собственное время наблюдателя; 2) гиперплоскости одновременных с точки зрения наблюдателя событий совпадают с гиперплоскостями одновременных событий мгновенно сопутствующей ему инерциальной системы отсчета; 3) остальные «наблюдатели со стационарными координатами» (т. е. с неизменяющимися 18
ГЛАВА 1
значениями X, д, 2) движутся так, что они всегда покоятся относительно наблюдателя на гиперплоскостях одновременных событий. При ^ = O наделим все пространственные точки теми индексами, которые они имели бы в мгновенно сопутствующей им инер-циальной системе отсчета t = 0, х, у, г.
Указать преобразование координат, переводящее (t, у, г) в (/, X, у, 2). Доказать, что часы со стационарными координатами при таком преобразовании не могут остаться синхронизованными.
Задака 1.18. Зеркало движется перпендикулярно своей плоскости со скоростью v. Какой угол с нормалью к зеркалу образует отраженный луч света, если падающий луч составляет с нормалью угол д? Как меняется при отражении частота света?
Задача 1.19. Зеркало движется параллельно своей плоскости. Доказать, что угол падения фотона равен его углу отражения.
Задача 1.20. Наблюдатель, движущийся с 4-скоростью и, исследует параметры частицы с массой покоя т и 4-импульсом р. Доказать, что:
а) наблюдатель измеряет энергию E =— ри,
б) с точки зрения наблюдателя, масса покоя частицы равна т2 = — р р,
в) по измерениям наблюдателя величина импульса частицы составляет \ р \ = [(р • u)2 + P • р],/2,
г) величина измеряемой наблюдателем обычной скорости v равна
!»!-['+тШ'-
д) 4-вектор v с компонентами
о° = 0, V1 = (AxiIdt)частица = обычная скорость можно представить в виде
Задача 1.21. Ядро железа испускает мессбауэровское у-излу-чение с частотой v0, измеренной в системе покоя ядра. Само ядро движется со скоростью ? относительно некоторого инерциального наблюдателя. Какую частоту измерит этот наблюдатель, когда испущенное ядром у-излучение достигнет его? Ответ выразить через ?, v0 и единичный вектор п, направленный от наблюдателя к ядру в тот момент, когда по измерениям наблюдателя было испущено у-излучение, ЗАДАЧИ
16
Задача 1.22. К наблюдателю приходит сигнал от источника света, движущегося со скоростью v. В момент испускания света угол между вектором V и прямой, проходящей через наблюдателя и источник света, равен Ф. Как зависит д от \ v |, если наблюдатель не замечает ни красного смещения, ни смещения к голубому концу спектра?
Задача 1.23. Предположим, что в некоторой инерциалыюй системе отсчета S фотон обладает 4-импульсом с компонентами
рО = р* = Е, рУ = рг = 0.
Существует особый класс преобразований Лоренца (так называемая «малая группа 4-вектора р»), оставляющих инвариантными компоненты 4-вектора р. Примером таких преобразований может служить чистый поворот на угол а в плоскости уг:
1 0 0 о - -E- -E-
0 1 0 0 E E
0 0 cosa — sina 0 0
0 0 sina Cosa. .Oj _0_
Найти последовательность чистых бустов и чистых поворотов, произведение которых не совпадает с чистым поворотом в плоскости yz, но принадлежит малой группе 4-вектора р.
Задача 1.24. Две гигантские лягушки пойманы, заключены в большой металлический цилиндр и помещены в самолет. Во время полета дверцы багажного отделения случайно раскрылись и цилиндр с лягушками выпал. Почуяв неладное, лягушки попытались выбраться наружу. Они собрались посредине цилиндра и, оттолкнувшись друг от друга, одновременно ударили в днища. Затем, мгновенно оттолкнувшись от «своего» днища, каждая лягушка перелетела, не задев другую, через весь цилиндр и ударила в противоположное днище. Так продолжалось до тех пор, пока цилиндр не ударился о землю. Рассмотреть, как выглядело то, что происходило в цилиндре, из некоторой другой инерциаль-ной системы отсчета, падающей с другой скоростью. В этой системе отсчета лягушки ударяют в днища цилиндра неодновременно, и поэтому цилиндр то рывком развивает скорость, превосходящую его среднюю скорость ?, то рывком начинает двигаться со скоростью, меньшей ?. Но в некоторой инерциальной системе отсчета цилиндр покоился. Означает ли это, что одна инерциаль-ная система отсчета может двигаться рывками то вперед, то назад относительно другой инерциальной системы отсчета? 20
