Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
16
Задача 4.1. Найти магнитное поле В от текущего по бесконечной проволоке тока /, используя для этого соответствующие преобразования Лоренца и суперпозицию электрических полей, создаваемых распределенными вдоль бесконечной прямой зарядами.
Задача 4.2. Доказать, что для электрического и магнитного полей величины B2-E2 и E- В инвариантны относительно замены переменных и преобразований Лоренца. Существуют ли какие-нибудь инварианты, не сводящиеся к алгебраическим комбинациям этих двух инвариантов?
Задача 4.3. В некотором электромагнитном поле электрический вектор E образует угол O0 с вектором магнитного поля В, причем угол O0 инвариантен для всех наблюдателей. Чему равен угол O0?
Задача 4.4. Доказать, что для электромагнитного поля величина S2 — IS J2, где Ш — плотность энергии, а 5 —вектор Пойн-тинга, лоренц-инвариантна.
Задача 4.5. Доказать, что при (S ¦ Ё) + (В2 - E2)2 Ф О всегда найдется преобразование Лоренца, переводящее В и E в параллельные векторы (Е'хВ' = 0). [Указание. Рассмотреть векторы v = a(ExB) и попытаться подобрать значение параметра а.]
Задача 4.6. Предположим, что E-B = 0. Доказать, что при В2 — Е2> О существует преобразование Лоренца, обращающее в нуль электрическое поле (Ё = 0), а при B2 — E2 < 0 — преобразование Лоренца, обращающее в нуль магнитное поле (B = O). Что можно утверждать, если, кроме того, выполняется условие B2-E2 = О?
Задача 4.7. Частицы в некоторой системе отсчета обладают зарядами et, 3-скоростями Vi и движутся по траекториям X = Zi(Z). Вектор 4-тока обладает компонентами
J0 = Z1 e?s[х-г, (0], J1 = S ел VW fx -Zk (0],
і ь
Доказать, что его можно представить в виде
J^ = ZVMxa-Zak(X)^dxl
и
где — 4-скорость /г-й частицы,
2 Заказ ПО 34
ГЛАВА 1
Задача 4.8. Записав в явном виде компоненты тензора F, доказать, что уравнения
Fafi,y+F^a + Fya,^ = 0, =
сводятся к уравнениям Максвелла
V.? = 0, ? + Vx? = 0, V-? = 4np, ? — V xZJ = — 4л7.
Задача 4.9. Доказать, что если Fvv- тензор электромагнитного поля, то уравнения Максвелла в вакууме можно представить в виде
f>vv = 0 и S=Fiviv = О (S=ZrIiv означает тензор, дуальный тензору Zriiv; см. задачу 3.25).
Задача 4.10. Выписав при р, = О компоненту уравнения для 4-силы Лоренца
du^/dx = (e/m) F^ , устанавливающую связь между FIiv и Eit Bi, вывести соотношение
dP°ldt = ev-E.
Задача 4.11. Вывести соотношение между dPjdt и векторами Е, В из пространственных компонент уравнения 4-силы Лоренца (Р — пространственная часть 4-вектора Р).
Задача 4.12. Частица с зарядом q и массой т, пролетая по лаборатории со скоростью vex, попадает в однородное поле Е, направленное вдоль оси у. Найти траекторию у(х), по которой частица будет двигаться в дальнейшем.
Задача 4.13. Частица с зарядом q, массой т движется по круговой орбите радиуса R в однородном поле Be2.
а) Выразить В через R, q, т и угловую частоту со.
б) Скорость частицы постоянна, поскольку поле В не производит работы над частицей, однако наблюдателю, движущемуся со скоростью ?ex, скорость частицы не кажется постоянной. Чему равна компонента и0' 4-скорости, измеренная этим наблюдателем?
в) Вычислить du0'/dx и тем самым dP°'/dx. Объяснить, каким образом может изменяться энергия частицы (поле В не производит работы над частицей).
Задача 4.14. Небольшая пробная частица (с массой т и положительным зарядом q) обращается по круговой орбите вокруг ЗАДАЧИ
16
«неподвижного» (т. е. очень массивного) тела с положительным зарядом Q. Для удержания частицы на орбите приложено постоянное магнитное поле В, перпендикулярное плоскости орбиты. В инерциальной системе, в которой центральное тело покоится, пробный заряд описывает окружность в плоскости, перпендикулярной полю В, с циклической частотой со. Выразить отношение заряда пробной частицы к ее массе через со, /?, В и Q.
Задача 4.15. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля в отсутствие зарядов имеет нулевую дивергенцию (т. е. TiviV = O).
Задача 4.16. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет нулевой след.
Задача 4.17. Пусть Tlly- тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Доказать, что
TvaTaV = [(Ei - В2)2 + (2Ё- Я)2]/(8л)2.
Задача 4.18. Записать закон Ома J = oE в инвариантном виде через Jv, Ftv, а и и? (4-скорость проводящего элемента).
Задача 4,19. Для заряженной частицы вывести из действия
A^d1X-т Jdx,
где J11 — 4-ток, All — 4-вектор потенциала и dx'2 as — г|ар dxf* dx$, выражение для 4-силы Лоренца.
Задача 4.20.
а) Доказать, что переход к дуальному тензору F->*F сопровождается преобразованиями Е-*- —В и В-*-Е.
б) Доказать, что если тензор F удовлетворяет уравнениям Максвелла для вакуума, то дуальный тензор * F и тензор e*aF = = F cos а + * F sina при произвольном а также являются решениями уравнений Максвелла. (Преобразование F->-e*aF называется «дуальным поворотом».)
Задача 4.21. Если считать, что эстетика призвана играть немаловажную роль при выводе физических законов, то из соображений симметрии уравнения Максвелла следовало бы записать в виде
