Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
^iviv = 4л JV,
Каков физический смысл величины К?
2*36
ГЛАВА 1
Задача 4.22. В пространстве-времени Минковского существует электромагнитный ток J11(Xv). Доказать, что величина
Cliv / ct\ 4 ^ ? ^ ^1t/ ^ d^x (х (rar°r •
где = — удовлетворяет уравнениям Максвелла. (Начать удобнее с построения функции Грина для уравнения ПЛ^ = = — 4я/1А.) Каким запаздывающим граничным условиям соответствует это решение?
Задача 4.23. Вывести уравнение для конвективной скорости изменения со временем магнитного поля, «вмороженного» в идеально проводящую жидкость, выразив ее через расхождение мировых линий, поперечный сдвиг и вращение жидкости. (Определения этих величин даны в задаче 5.18.)ГЛАВА 5
ВЕЩЕСТВО И ИЗЛУЧЕНИЕ
При правильном описании энергии, импульса и напряжений релятивистской жидкости или поля используют симметричный тензор энергии-импульса Т. В лоренцевской системе отсчета наблюдателя компоненты этого тензора связаны с произведенными наблюдателем измерениями следующим образом:
T00 — плотность массы-энергии (часто обозначаемая р), TaI = Т>° — /-я компонента плотности импульса,
— /-я компонента вектора потока энергии, Tit — компоненты обычного тензора напряжений (например, Txx — компонента давления в направлении оси х).
Если тензор энергии-импульса T^v описывает все поля, жидкости, частицы и т. д., имеющиеся в системе, то полная информация о взаимосвязи между потоком импульса и обменом энергией содержится в уравнениях движения
TtiviV = O.
Основные понятия релятивистской термодинамики и гидродинамики, вытекающие из этих уравнений, развиты в задачах.
Для удобства последующего изложения в некоторых задачах этой главы используется ковариантное дифференцирование, обозначаемое точкой с запятой. Читатель, не знакомый с ковариантным дифференцированием, может заменить все точки с запятыми просто запятыми (означающими частные производные в координатах Минковского). Кроме того, мы используем символ V. Например, VS означает 5a;g, V/ соответствует /л, V • T заменяет прежнее обозначение Tllvlv и т. д.
Задача 5.1. Вычислить в инерциальной системе отсчета 5 ненулевые компоненты тензора энергии-импульса для следующих систем.
а) Для группы частиц, движущихся относительно системы отсчета 5 с одной и той же скоростью ? = Pex. Плотность массы покоя этих частиц, измеренная в сопутствующей им системе38
ГЛАВА 1
отсчета, равна р0. Предполагается, что плотность частиц очень велика, и приближенно их можно рассматривать как некую сплошную среду.
б) Для кольца из N одинаковых частиц с массой т, вращающегося против часовой стрелки в плоскости ху вокруг неподвижной точки 5 и описывающего круги радиуса а с угловой частотой со. (Ширина кольца много меньше а.) Силы, удерживающие частицы на орбите, не входят в тензор энергии-импульса. Предполагается, что число N достаточно велико для того, чтобы частицы можно было считать распределенными по кольцу непрерывно.
в) Для двух колец из частиц, описанных в п. б. Одно кольцо вращается по часовой стрелке, другое — против часовой стрелки; они описывают круги одного и того же радиуса а. Частицы не сталкиваются и не взаимодействуют никаким другим способом.
Задача 5.2. Какой вид имеет тензор энергии-импульса для газа с собственной (т. е. измеренной в локальной системе покоя газа) плотностью N невзаимодействующих частиц с массой т, если все частицы обладают одинаковой скоросью v, но движутся изотропно? (Задачу требуется решить без предположения о том, что v^c.)
Задача 5.3. В системе покоя идеальной жидкости ее тензор энергии-импульса, если его записать через плотность массы-энергии р и давление р, имеет диагональный вид
Найти тензор энергии-импульса элемента объема жидкости с собственной плотностью р, давлением р, движущийся с 4-ско-ростью U.
Задача 5.4. Найти тензор энергии-импульса однородного магнитного поля. Чему равен усредненный тензор энергии-импульса, если поле В статично, но «хаотично», т. е. направление поля В изменяется, но так, что поле в среднем остается изотропным?
Задача 5.5. Площадь поперечного сечения стержня равна А, а масса, приходящаяся на единицу его длины, равна ц. Записать тензор энергии-импульса внутри стержня, к которому приложено растягивающее усилие F. (Предполагается, что F равномерно распределено по поперечному сечению стержня.)ЗАДАЧИ
16
Задача 5.6. Веревка с массой на единицу длины ц разрывается под действием статической нагрузки F. До какого максимального значения можно довести величину статической нагрузки F, не нарушая «слабое» условие энергии, согласно которому компонента T00 тензора энергии-импульса должна быть положительна для всех наблюдателей? Сколь близок стальной трос к этому теоретическому максимуму статической нагрузки?
Задача 5.7. На концы бесконечно тонкого стержня длины 2а насажены точечные массы т. Центр стержня закреплен неподвижно в лабораторной системе отсчета, а сам стержень вращается вокруг центра с релятивистской угловой скоростью «в (последнее означает, что линейная скорость о/ концов стержня сравнима с с). Масса стержня равна нулю. Найти тензор энергии-импульса 7>v для стержня и точечных масс.