Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Vu (и • u) =2и ¦ VuU = 0. Решение 7.10. Длина дуги равна интегралу
Чтобы экстремизировать ее, вычислим вариацию б Jds = O. Из уравнений Эйлера — Лагранжа следует
=4 gav, ?"a"V (О
(при выводе уравнения (1) мы использовали соотношение
I dxa dxP\ _ .
ga^IT "ds-/
dxa \
и ввели обозначение Wa=S-^-). Поскольку
d , „. dua . dxV „ dua .. „
~ds feafs" ) = SrOp іг + ~dTga^ v" + иУи Sad. v.
уравнение (1) преобразуется к виду
ga? ^BT + "a"V (gap, y - у gav, p ) = 0- (2)
Пользуясь тем, что
"a«Vga?. Y = "a"V • У (^a?. Y + gv?. о). ГЛАВА 5
239-
и умножая уравнение (2) на ^pt1 получаем
+ yg^teafS. V +gyp. a gay. ?)«a"V
d2X*
ds2
** , rx dx* dtf n /<n
- "355" + 1 «v-rfT-dTW
Решение 7.11. Определим новую параметризацию кривой функциональным соотношением s = f(%). Тогда производные по s и К будут связаны между собой следующим образом:
d _ f'd JL —f» A J-P« JL /1\
dk~1 ds 1 dX* 1 ds ' ds
где f'z&df/dX. В новой параметризации уравнение геодезических запишется в виде
<Рх* Г ra dx$ d*v _
+ ?v as ds ~u¦ W
Уравнение (2) имело бы «стандартную форму» (а параметр s был бы аффинным), если бы не второй член в левой части. Следовательно, чтобы параметр s был аффинным, вторая производная /" должна быть равна 0, т. е. зависимость между паваметрами s и А должна быть линейной.
Решение 7.12. Компоненты выражения Vpp можно представить в виде
(vpp)P = ти«(рР a + Т\ар°) = + и'рргЦ (1)
В плоском пространстве-времени всегда можно найти глобальную систему координат (координаты Минковского), в которой все символы Кристоффеля равны нулю. Пользуясь соотношениями (1), закон сохранения 4-импульса (dp/dx = 0) в этой системе координат можно записать в виде
VpP = O, (2)
но уравнение (2) — тензорное и поэтому должно давать правильное выражение для закона сохранения импульса в любой системе координат. Для частиц с массой вектор импульса пропорционален 4-скорости. Для таких частиц рр =— т2, и поэтому геодезические времениподобны.
Решение 7.13. Пусть Я, —аффинный параметр, так что ра = = dxa/dX. Тогда для движения частицы по геодезической имеем
0 = (VpP) . ea = Pu аР° = ^ - PaT°alpa, 240
РЕШЕНИЯ
и поэтому
§ = р°раг(аа)1 = P0Pa Jgaa,!= 0.
Решение 7.14. Примем за исходное уравнение геодезических d2x<Xj_ra dxI^-H
dl2 +1 PV dl dl
Переходя от аффинного параметра % к координатному времени f и используя соотношение
0 -dP + igij/gJdx'dx», (1)
получаем уравнение
d4k , г dx* dx{ Sktdxbdx* , d4!dl? dx*
SfbmW + 1 W'dt dt (dt/dlf S)k -df - 0.
Комбинируя его с временной частью уравнения геодезических (d*t/dV) _ _9Г dxb/dt
(dt/dlf - goo
и выражая коэффициенты связности Г через компоненты метрического тензора, преобразуем новое уравнение к виду
d4» . 1 . , , dx* dx* „ ...
Ъх IF + У (V/*. І + V/7. * - Yv. /) ж w = 0. (2)
где V/fe = — g/ft/goо- Уравнение (2) представляет собой не что иное, как уравнение геодезических с аффинным параметром t на 3-мерном многообразии с метрикой yfk. Из соотношения (1) ясно, что экстремум функционала J dt достигается на решениях уравнения (2). Следовательно, принцип Ферма (в обобщенном варианте) выполняется. [См. также Moller С., The Theory of Relativity (Oxford University Press, 2nd ed., 1972), p. 308.]
Решение 7.15.
a> Геодезическая — это путь между двумя достаточно близкими точками пространства скоростей с минимальной длиной дуги. Но длина дуги в пространстве скоростей представляет собой не что иное, как абсолютную величину небольшого изменения скорости. Поскольку при работе двигателей, необходимой для изменения скорости, ракета расходуег топливо монотонно, то геодезические в пространстве скоростей являются кривыми, вдоль которых расход топлива минимален.
б) Необходимо найти геодезическую в пространстве скоростей, соединяющую точки V1 и V2. Разумеется, можно было бы написать уравнение геодезических для метрики из задачи 6.8, но ГЛАВА 5
241-
такое решение весьма громоздко. Более простое решение мы получим, если воспользуемся соображениями симметрии и заметим, что геодезическая, проходящая через начало координат в пространстве скоростей, имеет вид Ф = ф = const, x = s (где s — аффинный параметр). Чтобы получить геодезическую более общего положения, рассмотрим эту геодезическую из движущейся системы координат. JTocmrcbKy x = Arth V —монотонная функция параметра р = уК [где у==(1 — У2)-!/»], то на геодезической можно ввести неаффинный параметр p(s). При такой параметризации Y = (1 + Р2)1/а, и если мы выберем геодезическую в направлении
ОСИ X, то
u = [(l+p2)'\ Р, 0, 0], —оо<р< + оо.
Буст в направлении оси х лишь отображает геодезическую на себя, поэтому необходимо только найти преобразование геодезической под действием буста в перпендикулярном направлении, например в направлении оси у. Под действием буста на величину ? в направлении оси у 4-скорость и переходит в 4-скорость
и' = [у'(1+Р2)Ч Р, (1+pW?, 0], (1)
где y' = (l-?2)-'/>.
4-скорость и' в уравнении (1) можно выразить через соответствующую 3-скорость
