Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Ip=O-
Используя пространственно-изотропную диагональную форму метрики и замечая, что Ei = г0;, преобразуем урав-
нения к виду
V • (еЕ) = 0, V X(Ii-1B) = д (еЁ)/dt,
где е = |J. = (//?оо)'/г- Следовательно, свет распространяется так,, как если бы среда обладала эффективным показателем преломления
п = M-v* = (g00//)v*.
Решение 7.22. Для определенности рассмотрим сначала ньютоновский случай. Пусть P (v, п) — вероятность того, что скорость космического корабля после п импульсных включений двигателей равна v. Выведем для P дифференциальное уравнение. Для этого заметим, что если после я-го включения двигателей космический корабль удалось разогнать до скорости и, то после-(п— 1)-го включения его скорость должна находиться в пространстве скоростей на расстоянии Af от скорости v. Из соображений симметрии ясно, что все точки сферы радиуса Av, описанной вокруг V, должны давать одинаковый вклад в P (v, п), поэтому P (v, п) можно приравнять изотропно усредненной по сфере вероятности P после (п— 1)-го включения двигателей:
P Cv, tl) = (P(v+Av, п- 1 »Сфера = = +Avex, п-I) +P (v +Avey, n-\) + P$+Ave„ я-1)+
+ P(v — Avex, ti—\) + P (v— Avey, n—\) + P(v — Aveii, n — 1)] я« p^P(v, n-l) + (Ai»)2V2P/6. (1)
Следовательно, P удовлетворяет дифференциальному уравнению
S-MfEw. (2)
т. е. обычному уравнению диффузии. Решение этого уравнения, с начальным условием P (v, 0) = o3(u) имеет вид
P (V, п) = (4Я)-'/. (ZlAoVG)-V' exp (^?). (3> 246
РЕШЕНИЯ
Те же самые рассуждения применимы и в случае релятивистской задачи, за исключением того, что сложение скоростей перестает быть линейным: при сложении скоростей приходится обращаться к более сложным релятивистским формулам. Но поскольку Av с, в системе отсчета, мгновенно сопутствующей космическому кораблю, собственную скорость Av можно рассматривать как (линейную) аддитивную добавку. Это означает, что в пространстве скоростей локально выполняется уравнение диффузии (2). Необходимо лишь учесть, что глобальная метрика релятивистского пространства скоростей отлична от метрики нерелятивистского пространства скоростей. Для этого оператор V2 в уравнении (2) следует понимать как лапласиан в искривленном пространстве скоростей с метрикой (см. задачу 6.8):
dv SoeetB = d\|j2 + sh2 (dvb + s in2 ft do»), (4)
где ij) — параметр быстроты, т. e. thi|)==| о j. Соотношение [см. задачу 7.7(к)К ^
Piaia = g~J{gJg*pA« (5)
я то, что вследствие сферической симметрии
— — дР =Q
<?Уф ~~ диъ ~ '
дозволяет нам записать уравнение
дР Лоз г і д ( .... дР У]
Нетрудно проверить, что его решением служит распределение вероятности
P (о, п) = (4л)-'>'<гЧ-ч>^e-WM, (7)
где t = IiAv216. Оно согласуется с ньютоновским решением (3) яри /<^1, (на отношение г|э3/4/ никаких ограничений не
налагается).
Вероятность того, что значение параметра ф заключено между і|з « ijj-f-ch|) [в метрике пространства скоростей (4)], равна 4jtsh2\|)Pd\|). В пределе при 1, I она обладает асимптотикой
¦g-~(4я)-1'» -$-«-*•/«-<+¦ = (4„)-'/, JLe"' •
Существенна лишь экспонента. Из нее следует, что г|э имеет математическое ожидание и дисперсию Aaj) ~ Y^» поэтому Iim Дг|)/(г|>> =0. С увеличением числа включений средняя быстрота
<-»оо
^ij;) возрастает линейно, но среднее приращение скорости за одно ГЛАВА 5
247-
включение составляет Д«2/3. Трезвый астронавт при каждом включении двигателей увеличивает быстроту на До, т. е. в Зс/До раза. Удивительно, что пьяный астронавт все же может разогнать-свой корабль до релятивистских скоростей (в ньютоновском случае скорость или быстрота возрастает лишь как а не как л). Причина этого кроется в свойствах преобразований Лоренца: если удаляющийся от вас наблюдатель стреляет, целясь наугад, то вам будет казаться, будто некоторым направлениям он отдает предпочтение перед другими (эффект «фары»).
Решение 7.23.
а) Если гиперповерхности заданы уравнениями / = const, то
к —V/, ^ =
и, следовательно,
?Wv=A.v/.n + ft/,n:v, (1)
hw. А] = К [v/, JiД м + Л2Д [ц; v/, Xi- (2)-
Ясно, что первое слагаемое в правой части соотношения (2) равно-нулю. Второе слагаемое также равно нулю, поскольку Д ц;у = Д v;(1. Обратное утверждение (о том, что из условия 6[№V&;i] = O следует гиперповерхностная ортогональность векторного поля к) называется теоремой Фробениуса.
б) Из соотношения (1) видно, что дополнительное условие-fc[n;vi=0 эквивалентно существованию такой скалярной функции/, для которой k = V/.
Решение 7.24. Пусть к —вектор, касательный к конгруэнции изотропных кривых. Поскольку вектор к гиперповерхностно ортогонален, то
*а = ЛДа,
где / и Л —некоторые скалярные функции (см. задачу 7.23),. а поскольку к —изотропный вектор, то
Д af'а = 0.
Из этих двух соотношений получаем
*а;Р?Є=(Л.рД« + ЛДа;р)Л/-Р,
и, следовательно,
Тем самым уравнение геодезических Vkk~k удовлетворено. Если k? = dxa/dX, то можно ввести аффинный параметр К'=K'(к) и. •248
РЕШЕНИЯ
записать это уравнение в обычном виде:
V?k = 0,
где Ea=^dxaZdX'.
