Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
1) при P = O V.u1 = -^(p0 + P0)-b
2) при р= 1, 2, 3 dvJdt = -V Р,/{р0 + Р0), которые можно объединить в уравнение
dbpjdt2 -V2P1 = 0.
Поскольку В изэнтропическом потоке P1 И P1 связаны соотношением;
Рг = дР/др |sPl, то выведенное уравнение переходит в волновое уравнение
V2P1__L_ ^fPl = о
Pl «Івук
с характеристической скоростью извук.ГЛАВА 213
При уравнении состояния p«=s3P
иівук = дР/др = V8, поэтому B СИЛЬНО релятивистском газе «звук ^
Решение 5.23. Из первого начала термодинамики (см. задачу 5.19) при ds = 0 следует
dn/dp = nf(p + P).
Пользуясь определением показателя адиабаты T1 и выражением для и|Вук из задачи 5.21, получаем
¦'звук
dP/dp __ P dn
(ndP)/(Pdn) п dp р + Р '
Решение 5.24. При нулевой температуре все энергетические состояния в ферми-газе вплоть до уровня Ферми E = Ef заполнены. Поскольку для фермионов существуют два спиновых состояния, то плотность фермионов в фазовом пространстве равна 2//і3 и
dnfV = (2fha) d3p, P = fF (р2+т2у/' (2 fh3) 4np2dp,
P
о
где Pf-импульс, соответствующий энергии Ферми. Как показано в задаче 5.22, г>звУк = dP/dp, откуда
P = \pr V3P2 (р2+т2)-1/' (2Ih3) 4np2dp,
г _ dP _ dP/dPF _ IfPf\2 __ Ifi т*\
"звук - dp - dp/dPp - з ^J - з^І - ?Tj-
Заметим, что для сильно релятивистского ферми-газа извук -> 3_І/*.
Решение 5.25. Релятивистское уравнение Бернулли, выражающее сохранение энергии вдоль линий тока идеальной жидкости (задача 14.7), имеет вид
(1-^ = (7?-) X const.
[Уравнение Бернулли следует из уравнений T0v, v = 0, (ZiM11)lll = O, и первого начала термодинамики dp/(P+p) = dn/n.) Поскольку газ начинает вытекать из баллона с нулевой скоростью, то const = = (P0 + Po)/"o- Верхняя граница для п/(Р + р), задающая верхнюю границу имакс для v, достигается при Р->-0 (и, следовательно, р -*-тп), откуда
(1 — ulkc)- ч' = ~ i^—1)-214
РЕШЕНИЯ
Попытаемся выразить правую часть этого равенства через а — скорость звука в газе с параметрами P0, р0, п0. Постоянная К в уравнении состояния P = Kny указывает, какой адиабате соответствует состояние газа. Первое начало термодинамики запишем в виде дифференциального уравнения
dp _ КпУ+р dn п
Интегрируя его (с граничным условием р -*-тп при п ->- 0), получаем
JS
р = тпА--г пУ.
г і Y-I
Скорость звука а определяется уравнением
2 _dP _ dP/dn у КпУ ^
а ~~ dp dp/dn т+у КпУ-1/(у -1) '
а из первого начала термодинамики получаем
= (2)
(1)
dn \dn J \dP
Ho уравнение (1) содержит ту же самую комбинацию уКп^~л. Следовательно, уравнение (1) можно разрешить относительно
уКпУ~г : та2Д1 _ а2Цу _ 1)]
и получить
1 /Ро + Ро\ = 1 т\ п о / 1 -«2/(7-1)'
откуда
W2MaKC= l-[l-?2/(V- I)]2.
(Заметим, что в пределе сильно релятивистского газа, для которого уiZ3 и a2-»- Vs, ^макс * - /
Решение 5.26. В системе покоя жидкости лишь компоненты тензора энергии-импульса T°' = T>0 = qi связаны с вектором q. Поскольку в системе покоя жидкости и = (1, 0), то соотношение
TaP = U0V + «V
выполняется в этой системе отсчета и, следовательно, справедливо в любой другой системе отсчета.
Решение 5.27. В системе покоя жидкости 5° (плотность энтропии) = ns, S1 (поток энтропии) = поток тепла/Т = qf/T.
Поскольку В системе ПОКОЯ ЖИДКОСТИ <7° = 0, M0=I1 TO COOTHO-ГЛАВА 5
215-
шение S = nsu + q/T выполняется в этой и, следовательно, в любой другой системе отсчета.
Решение 5.28. Тензор энергии-импульса рассматриваемой системы удобно записать в виде
т = Тжндк + Ттепл = [(Я + Р) U ® и + P^] + [q ® и + и ® q].
Запишем уравнение, выражающее сохранение энергии вдоль линии тока:
О = (V • Т) ¦ и = (V • Тжидк) • и + (V • Ттепл) • и. (1>
В результате несложных преобразований (см. решение 5.20) первое слагаемое в правой части приводится к виду
— dp/dx + (dn/dx) (P + р )/п.
Из первого начала термодинамики следует, что это выражение равно —tiT ds/dx (см. задачу 5.19). Второе слагаемое равно
(V.TTenJ.U = (?V + «V);v«,.
Поскольку qaua = 0 (поток тепла пространственноподобен в сопутствующей системе отсчета) И UaUa= —1, то
0 = (<7%): V = v«n + Q11U11- V, 0 = (UvUv)- у = 2Uv- vM,i
и второе слагаемое сводится к — q • а — V • q. После всех преобразований уравнение (1) переходит в уравнение
0 == — пТ ds/dx - q ¦ а — V • q.
Наконец, обращаясь к определению 4-вектора потока плотности энтропии S = nsu + q/T, получаем
V.S = sV.(mi) + n(VS.U)+^V.q-^.q =
_ ^s д. J_ V _ VT q — _ Лі? _ Yl
~~ П dx' T ^ T2 — T Г2
Второе слагаемое показывает, что, как и в нерелятивистской термодинамике, тепловой поток производит энтропию из-за наличия температурного градиента. Первое слагаемое означает, что поток тепла производит энтропию в направлении 4-вектора ускорения. Этот эффект «красного смещения» возникает по той причине, что в системе, движущейся с ускорением, постоянная температура не характеризует равновесное состояние: частота фотонов, идущих «спереди», по мере продвижения их «назад» претерпевает смещение к голубому концу спектра, тем самым создается неском-пенсированный поток тепла.216