Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
У/(1 -y2)'/, = p^+(l+p2)v!Y'?m, (2)
где п и т — ортогональные единичные векторы, с которыми можно обращаться как с векторами в обычном координатном пространстве. Разрешив соотношение (2) относительно V2, запишем его в виде
^[-^JW?m. (3)
Это — уравнение геодезической общего положения в пространстве скоростей. Стоит лишь задать значение ? (|?|<l) и выбрать два ортогональных единичных вектора т и п, как мы получим геодезическую, параметризованную переменной р (—со <; р <С < + оо). Из уравнения (3) видно, что геодезическая общего положения в пространстве скоростей представляет собой «прямую» (это отнюдь не свидетельствует о том, что пространство скоростей плоское!).
Могут представиться 2 различных случая (фиг. 16). В случае 1 (либо угол OVlVit либо угол OV2V1 тупой) наименьшее расстояние между геодезической (прямой), проходящей через V1 и V2, и началом координат О равно либо IK1I, либо |У2|-В случае 2 (оба угла OV1V2 и OV2V1 острые) наименьшее расстояние между геодезической и началом координат О, как еле- 242
РЕШЕНИЯ
дует из элементарных геометрических соображений, равно
Фиг. 16.
Решение 7.16. Вектор А подвергается параллельному переносу вдоль координатной линии ф (т. е. О = const), поэтому
0=Л% = Л% + Г°РфЛВ (1)
Поскольку отличны от нуля лишь символы Кристоффеля
Г%ф = — SinOcosO и TV = CtgO,
то из уравнения (1) получаем
—sin0cos04i> = 0, (2)
4% + ctgM» = 0. (3)
В этой задаче координата О остается постоянной (равной O0). Уравнения (2) и (3) легко решаются. Например, дифференцируя уравнение (2) по ф, находим
Л%ф = sin О cos 0Л% = — cos2 0Л°,
откуда
Л° = a cos (ф cos О) + ? sin (ф cos О), где а и ? — постоянные. Из уравнения (2) получаем
Л ф = — a sin (ф cos 0)/sin О + ? cos (ф cos 0)/sin О. При ф = О вектор А совпадает с т. е. Л°=1, Лф = 0. Следо- ГЛАВА 5
243-
вательно, а = 1, ? = О и
A^ = cos (<р cos ft),
A* = — sin (ф cos ft)/sin ft.
При ф = 2л (после переноса по окружности) вектор А переходит в вектор
А = cos (2я cos ft) ео — sin (2я cos ft)/sin Oetp Ф e#, яо величина его остается неизменной:
(А • А)2Я = cos2 (2зт cos ft) е# • е<>+ + sin2 (2я cos ft)/sin2 • еф = 1 = (A • A)0.
Решение 7./7.
1) vU (%?) = vU (ea • e?) = (Vuea) • e? + e« • (Vue?) =
= Aa?ey • e? + A&4y ¦ ea = Aafi + Afa.
Тензор А должен быть антисимметричным. В этом случае закон переноса удобно записать в виде
Vuea = AJtfi = (Л?рер ® eY) • Ca = - Q • ea, (1)
где Qpv = Л pV _ 4-мерный аналог 3-мерной антисимметричной матрицы поворота.
2) Поскольку вектор и — во выделен, разложим Q по и н ортогонально и:
QaP = ьаи? — UaV^ -f- (оар, (2)
тде Wap = — coPa, COapUg = 0, а компонента Vа еще не определена. Не ограничивая общности, можно считать, что v • u = 0. Из уравнения (1) получаем
Q и = — VuU = — а, где а —4-ускорение наблюдателя. Но из уравнения (2) следует
Q-U= — V,
поэтому V = а и
Q = aig)u — u(g>a + u>.
3) Тензор (оар обладает лишь тремя независимыми компонентами и является пространственным, поскольку © • и = 0. Следовательно, тензор Wap представляет собой чисто пространственный поворот базисных векторов и обращается в нуль, если пространственные векторы остаются неподвижными.
Часто три независимые компоненты тензора соар объединяют в вектор угловой скорости © (ю • u = 0). Вектор 6) и тензор соаР связаны соотношением
Wap = еаря<тмХ(оа, сйа = —у e^Xcokj. 244
РЕШЕНИЯ
Заметим, что для не вращающейся в пространстве системы координат ((0 = 0) справедливо соотношение
Vuea = (u (g> а — а (g> и) • еа.
Любой вектор Ca, удовлетворяющий этому соотношению, называется перенесенным по Ферми — Уокеру.
Решение 7.18. Пусть х и у —два произвольно выбранных вектора. Подвергнем их переносу Ферми —Уокера
Vux = (и 0 а — а (g> и) • х, Vuy = (и (g> а — а ® и) • у,
где и — касательный вектор к кривой rS, a a = Vuu. Пользуясь правилом дифференцирования скалярного произведения, вычислим изменение скалярного произведения х-у вдоль кривой
Vu (х-у) = (VuX)-у + X-(Vuy) =
= (а • х) (и • у) - (а • у) (и • х) + (и • х) (а • у) - (а • х) (и • у) = 0.
Следовательно, скалярное произведение любых двух векторов инвариантно относительно переноса Ферми — Уокера.
Решение 7.19. Дифференциальное уравнение переноса Ферми— Уокера имеет вид
VuX = (u (g> а — a Cg) и) • х,
где и — касательный вектор к кривой, a a = VuU = Dujdx. Если кривая геодезическая, то она удовлетворяет уравнению геодезических VuU = O, и поэтому при переносе Ферми —Уокера любой; вектор X преобразуется по закону
VuX = O,
т. е. перенос Ферми — Уокера вдоль геодезической совпадает с параллельным переносом.
Решение 7.20.
а) Ua. fiUW* = Ua, fiUWa = (VuU) - U.
б) Vа; $UV — Ua- = VuV — Vv U = [U, V].
в) Ta3jvVaWv = V-(VuT)-W.
г) Wa- ?Vp; vf/v = Wa- р (V*., 4Uv) = V(VuV)W.
д) Объединяя в выражении, приведенном в условиях задачи, два первых члена, получаем
(Wai yUv); ?t/? - Ualfl(W^vUv) = Vu (VuW) - V(V(jW)U = [U, VuW]. ГЛАВА 5
245-
Решение 7.21. Траектории световых лучей можно получить, из уравнений Максвелла Fa^. ? = 0 в пределе геометрической оптики. С помощью тождества из задачи 7.7(1) эти уравнения, можно представить в виде
