Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
ds^dft2 + ft2 dX2.
Если эта вырожденная метрика периодична по X с периодом Р, то длина окружности надлежащим образом проведенного малого круга радиуса Aft равна
J(Aft) dl = (Aft) Р.
Чтобы отсекаемая плоскостью круга «шапочка» не содержала конической особенности, длина окружности должна быть равна 2nAft, т. е. P = 2я. Но если перейти к ft я« 1, то метрика выродится в метрику
ds2 ^dft2 + (ft - I)2 (2)2dx2 ГЛАВА6
229
и условие отсутствия конической особенности будет иметь вид
из него следует, что P = л. Таким образом, либо Р = 2я и коническая особенность расположена в точке с 1O1=I, либо P = л и коническая особенность расположена в точке 1O1 = O. Таким образом, многообразие, локально заданное метрикой
допускает два различных глобальных расширения. (Эту задачу предложил Джильберт Миллер.)
Решение 6.10. Геометрический объект обладает той или иной группой симметрии, если его вид не изменяется под действием преобразований группы. Если ? — бесконечно малое возмущение, то, как нетрудно показать, под действием бесконечно малого преобразования координат Xv- = -f- ^ метрика получит приращение
%HV = gZiv M - guv W = — V - gpvl^, ц - guv, ЛР (1)
(см. задачу 13.12). Если метрика сферически симметрична и возмущение вызвано действием группы вращений, то Sgtiv должно обращаться в нуль. Воспользуемся частной реализацией группы вращений на генераторах
где г'1' = — єЯ — три произвольные бесконечно малые постоянные. Подставляя выражения (2) генераторов в (1) и приравнивая нулю, получаем а) при (x = v = 0
р
$ 2(ЩМ = 2л(Щ\
о
ds2 = dW+(®-®3) dl2,
|° = 0, 1' = е"х/,
(2)
goo, PijXj = 0, или goo, txi = goo, JX1,
и, следовательно.
goo = goo (*0, г2),
г2 ?= (х1)2-и*2)2-M*3)2;
(За)
б) при ц = 0, \ф0
gofitJ + goj, fiikxk = 0, go! = T1 (г2, х°) Xli
(36)
где T1 — произвольная функция; 230
РЕШЕНИЯ
в) при цф0, \Ф 0
gik&'+gifi"+gl], PlkXh = О,
= Г2 (Л бі/ + Г3 (Л *»)•*'•*/, ( В'
где Г2 и Г3 — произвольные функции.
Из соотношений (2) нетрудно видеть, что приведенная выше-система координат х1, хг, х3) «декартовоподобна». Однако-теоретико-групповое определение сферической симметрии не зависит от выбора системы координат, и для того, чтобы найти метрический тензор guv в любой другой системе координат, необходимо лишь подвергнуть метрику, заданную соотношениями (3), обычным преобразованиям. ГЛАВА 5
Решение 7.L Пусть заданный базис е^ преобразован так, что Cll- = La^ea. Тогда
Ve^ = Гт'о/0'ЄТ' = (LVeli) = Ck(L^tv) =
= L\. (LV1^ + =
= LV (LV,,Lt>t- + L*VL*' Vrvex')
и, следовательно,
П'ат = LVL VL^yHma + LVLxVL1VA-
Если бы коэффициенты связности преобразовывались как тензоры, то второе слагаемое в правой части отсутствовало бы.
Решение 7.2.
а) Рассмотрим сначала линию ft = 0, r = s, где s — аффинный параметр (длина дуги). Из уравнения геодезической
d2xv-/dr2 + Dlrr = 0
получаем
r„=TV=O.
Для нерадиальных линий запишем уравнение геодезических, используя ft как новый неаффинный параметр:
d4/dst dxV- dx<* Clxfi _„ ...
do2 + (dft/ds)2 dd + do dd 1 o? — I1)
Уравнение прямой общего положения имеет вид
г cos (ft — ot) = Rq, (2)
где а и R0 — произвольные постоянные. Из этого уравнения ы соотношения ds =dr2 + r2d№ получаем
ds/d® = R0Zcos2 где i|)s=ft — а, откуда в свою очередь следует 232
РЕШЕНИЯ
Уравнение геодезических можно записать в виде
dW dx* dx<* dx& r „ q
Рассмотрим на геодезической точку 1O1 = а (т. е. -ф = 0) и г = R0. В этой точке уравнение (3) вырождается в более простое уравнение
~Ь f^frd =
из которого мы находим
Г%* = 0
и [используя уравнение прямой (2)]
TrM = -г.
Поскольку значения а и S0 произвольные, полученные выражения для коэффициентов связности остаются справедливыми и в общем случае.
Наконец, рассмотрим произвольную точку на кривой и запишем уравнение геодезической во всей его красе, используя уже известные коэффициенты связности Г. Компонента ц = г этого уравнения позволит нам получить
Г ^= 1/г.
б) Из уравнения окружности г2 = х2+У* и соотношения ctg Ь = х!у получаем матрицу преобразования
Р = У sin 1O"
cos d
r sin lOr
rcos^J'
(Первую строку обратной матрицы мы получили, например, взяв дифференциал от х = rcos®=$dx = dr cos® —г sin ФгіФ.)
Коэффициенты связности Г (см. задачу 7.1) преобразуются по закону
Га = La PL^-Lv7TpHv -f- La H1L1Viv'.
Поскольку в декартовых координатах Г% = 0, то вклад дает лишь второе слагаемое. Продифференцировав и умножив соответствующие матрицы, мы получим коэффициенты связности в полярных координатах.
Iа' — ь ix —
ц = х cos 1O1 — sin ft
и обратную ей матрицу
LV =
?' = r
cos 1O1 — sin 1O1 ГЛАВА 5
233-
в) Воспользуемся тем, что
rVv = Y^il fe*. V ?-g?v. и)-
Для метрики ds2 = dr2 + rW от нуля отлична лишь производная go®, г = 2г. Следовательно, коэффициенты связности Г% не обращаются в нуль лишь в том случае, если два индекса равны ft, а один индекс равен г.
Гд» = ?""( — у 8«». rj = — г,
