Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
^viv = O.
Решение 8.8. Построим в произвольной точке 3-поверхности локально ортонормированный базис е^, ej, e-, ej. Если 3-поверх-ность пространственноподобна, то базис можно выбрать так, чтобы вектор ej совпадал с единичным вектором нормали к ней. Тогда три ортогональных (и, следовательно, линейно-независимых) вектора (ej, e-, ej) будут принадлежать 3-поверхности и, следовательно, будут пространсгвенноподобными. К любому другому ортонормированному базису мы можем перейти, выполнив соответствующее преобразование Лоренца, которое оставляет простран-сівенноподобньїе векторы пространственноподобными и непространствен ноподобные векторы — непроетранственноподобными. Следовательно, если 3-поверхность пространственноподобна, то всегда можно выбрать три принадлежащих ей ортонормированных про-странственноподобных вектора.
Если 3-поверхность изотропна, то выберем локально ортонормированный базис так, чтобы сумма е^+е* совпадала с нормалью к 3-поверхности. Изотропный вектор ортогонален самому себе, поэтому 3-поверхности принадлежат три ортогональных вектора: пространственноподобные векторы е^ и е- и изотропный вектор е- + е-. Наконец, если 3-поверхность времениподобна, то выберем вектор е- так, чтобы он совпадал с нормалью к поверхно- ГЛАВА 9
253'
сти. Тогда 3-поверхности будут принадлежать времениподобный вектор ej и пространственноподобные векторы ер и ej. Как и в случае пространственноподобной 3-поверхности, полученные результаты останутся в силе, если на рассмотренный базис подействовать произвольным преобразованием Лоренца.
Решение 8.9. Запишем элемент объема
Cl3Zil {a, b, с) = ~ Blivfia д ^ Xl] ^ da db de.
Если от параметров а, Ь, с перейти к параметрам а, ?, у, то
dad^dc'Hl^nbt Кwd^
Если параметры (a, ?, 7) задают ту же ориентацию, что и параметры (a, Ь, с), то якобиан положителен (по определению одинаковой ориентации), поэтому знак абсолютной величины можно отбросить и записать
J3v / и \ 1 д (xv, хР; Xа) д (а, Ъ, с) , ,а ,
d 2ц {а, Ъ, с) -зу eMVpCT I (a> й| с) а ;и> ?> da ri? dy =
1 д (*v, хР, Xа) , j
= 3fW а(„, PtT; dadtdy = = d%(a, ?, у).
Утверждение задачи доказано.
На языке дифференциальных форм инвариантность интеграла очевидна, поскольку Cf3Slj, можно рассматривать как 3-форму:
= ~ Blivpa K^A d^P Ad^.
Решение 8.10.
а) Запишем 2-форму ft и ее дифференциал dft:
dft = fk, п Y Bklm di" A K1A Sim +/* Y (de«J Adx1A
Пусть по определению [klm] = + 1,' если klm — четная перестановка чисел 1, 2, 3, [klmJ = —1, если klm — нечетная перестановка чисел 1, 2, 3, и [klmj = 0 во всех остальных случаях. Тогда 254
РЕШЕНИЯ
Таким образом,
d0 = T (f- " + *fs) є*"" <&п/\Зх1А&ст = = т I ^ l",/! ( IS \4tf*). П *ыт SxnASxiA d^.
Ho в 3-мерном пространстве
ЗІ» A Sx1 ASxm =! g \ч'вп1т Sx1 a Sx2 a Si3 и ZklmZnlm = 2ЬпТ,
поэтому
do=. 41 g |v, ax1 a Sx2 A Sx3.
Следовательно, в обычных векторных обозначениях обобщенную теорему Стокса можно записать в виде
J/.dfS.
V dV
б) e^S^AS^A®^;
= зг d^+^ dWv) A SxaASxPASxv=
= і (/"^«Wv +/" Ella3v ЗІ*) AdiaASiPASiv =
= і !г ГЛ( Ig ffb Eimxpv Si^AS^AdiPASiv = = ——V (I ff f'fbw^ I g Iv' Si9 A Sx1 A Si"2 A Sxs=
3! Itfl2
- -1T (I § \'un ^ OV311 g Iv- Si0 Л Sil A ^2 A Si3= З! і SI2
=/11; и Ig Iv' SieASx1ASil2A Si3.
Таким образом, обобщенную теорему Стокса можно записать в виде
$v./|g|v,d*x= 5
a да
в) d = /*vd%v = /*v|W?ai°A&?,
d# = -і- d (/*%Va?)ASia ASxp= = I-Ig ГА( Iglv' ^vU WpSi^ASx01AdiP,
где дифференциал de^p выбран так же, как и в п. «б». Но
e^vap Si^ASxaASip=WP (1/6) б^ Si14ASiffAdit =
= -(1/6) WPev^apeYHat Sxit ASxaASxt =• = - ewva?ev^d32v = 20 Jvd3Sv, ГЛАВА 9
255'
а из задачи 7.7 (и) известно, что
do = I g I- ю (I g ov^v d*Zv = 2/*% d%,
и, наконец,
da Q
г) Пусть Q = Ak dxk = A • dl и поверхность Q 2-мерна. Тогда дифференциал dO преобразуется к виду
d# = Ak,, Sxf Д дх" = Aktj 6?1 Sxm A Sxn =
= I л,, ^Ermn /\ Sxn=(Vx Ay d2Sr,
что и требовалось доказать.
Решение 8.11. Предположим, что такой тензор существует. Чему были бы равны его компоненты в произвольно выбранной точке свободно падающей локально ортонормированной системы координат? В этой системе координат все gap.n равны нулю (поскольку равны нулю все Taplj,) и gap = Tiap. Следовательно, наш гипотетический тензор должен был бы быть некоторой алгебраической комбинацией нулевого тензора тц и, быть может, 6ар и eapv<>. Нетрудно убедиться, что единственная нетривиальная комбинация равна rj ® rj (g>,.. ... (gl т](6 только «переименовывает» индексы, например, SapTiav=Tjpv, а eaPve либо обращает соответствующий член в нуль в силу своей антисимметричности, либо опускает индексы). Поскольку мы выбрали произвольную точку, то доказанное нами утверждение справедливо во всех точках.
Решение 8.12.
а) Воспользуемся общим определением символов Кристоффеля Г:
Гцар = eH ' V«
В координатном репере
Г na? - IVPa = Єн • (Vpea - Vaep) = Єц • [ep, ea] = 0,
поскольку векторы координатного репера коммутируют.
