Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Vuv-VvU = [u, v] = Хи\ = — Xvu. (1)
Полагая соответствующие члены в (1) равными нулю, т. е. VvU = = XvU = Q, и замечая, что символы Кристоффеля равны нулю, получаем
Vuv = 0 = UiVkt і = 0, — и« = Ux = UU^1 = O. ^ '
Следовательно, вектор и может быть ненулевым (и иметь игФ 0) лишь в том случае, если
Ct = O. (3)
Решение 8.20. Пусть u (р) — векторное поле, которое требуется найти. Если оно допускает параллельный перенос вдоль самого себя, то VuU=O. Это не что иное, как уравнение геодезических. Следовательно, и (р) должно быть полем векторов, касательных к конгруэнции геодезических, заполняющей пространство.
Если поле и (р) допускает перенос Ферми —Уокера, то
Vuu = (u <g> а — a <g> и) • и, (1)
где a = VuU. Следовательно,
а = и (а • и) — а (и • и). (2)
Умножив скалярно правую и левую части равенства (2) на и, получим
а • и = и2 (а • и) — (а • и) и2 = 0.
Подставив в (2) а-и = 0, найдем, что и2 =—1 либо а = 0. Первый случай (u2==—1) означает, что любое поле подходящим образом нормированных 4-скоростей допускает перенос Ферми — Уокера вдоль себя. Второй случай означает, что векторы, касательные к любой конгруэнции геодезических, также допускают параллельный перенос Ферми — Уокера, даже если они не нормированы на —1.
9* 260
РЕШЕНИЯ
Правилу переноса Ли
О = <S?„u == [и, и]
удовлетворяет любое векторное поле.
Решение 8.21. Рассмотрим 1-форму U = t/adx". Вычислим сначала
.SfxU = (xat/?,a+t/ax«?)di?, d (^.u) = (jWp.« H-1/«*«. в). * 33fv A 333»- (1)
Затем вычислим <S?x(dU):
dU = i/aiYaxV Д dx«,
Xx (dU) = Xx (Ua, y) dxv Д Sxa + Ua, yXx (SKv) Д Sxa + + t/„, Xx(Sxa) =
= xTf/a, YTdxV Д Sxa + Ua, yx\x Sxx Adxa + + Ua, YxaT Stf f\ Sxt = [(XxU9, x + ^aXai3),Y -- ^aXai3v] dJv Д 3xP. (2)
Переход от предпоследней строки к последней достигается простой заменой индексов. В силу симметричности частных производных и антисимметричности внешнего умножения последний член в скобках, стоящих в правой части соотношения (2), обращается в нуль. Сравнивая соотношения (1) и (2), для 1-форм получаем
Примененный нами метод доказательства допускает непосредственное обобщение на случай р-форм.
Решение 8.22. ^
1) (VS)' = й< • VS = HiAx1 ¦ VS = hidS/dx'.
2) Общее выражение для ротора должно иметь следующий вид:
(VxVy=Ig |- Wkyk. ,. = I^i- WVk, h
поскольку это соотношение ковариантно и выполняется в локально плоском (декартовом) координатном репере. (Соответствующие свойства полностью антисимметричного тензора г'>к см. в задачах 3.20 и 3.21). В ортонормированном репере
(v x V)*= o t. (v x V) = hi (v x V)' = hi (/I1Zi2Zi3)-1 ei/kd (hkV%)/dx>.
3) Из решения задачи 7.7(ж) получаем
V. V = I g I- v. [| g\4,V4i = (МЛ)-1 [(Zi1Zt2Zi3) hV V г ],і. ГЛАВА 9
261'
4) Из решения задачи 7.7(к) следует, что V2S можно представить в виде
V2S = ІЄ І"(I S Iv' SejlS. ?).a = (/I1ZI2ZI3)-1 [Zi1Zl3Zi3Zl,"^].,.
Решение 8.23. Воспользуемся результатами, полученными в п. 2 и 3 решения 8.22, и применим их к x* = r, X2 = O, лг3 = <р и Zi1=I, Zi2 = г, Zi3 = г sin О. (Для простоты мы будем придерживаться обычных обозначений и опустим знак указывающий физические компоненты.) Итак, имеем
V-A = (г2 sin 1Q)-1 [г2 sin Wit1Ail, =
= (г2 sin [(г2 sin ОЛДг + (г sin <Мв).Ф + г Лф> ф], (V X А)г = (г sin О)"1 [(sin ОЛФ),0 - A«, ф], (V X A)0 = (г sin О)-1 [Аг, ф - (г sin 0ЛФ),Г],
Решение 8.24. Если воспользоваться дифференциальными формами и внешним дифференцированием, то задача становится тривиальной. Из первого соотношения получаем F = dA, поэтому dF = ddA = 0 (оператор dd любую форму переводит в 0). Величины /7Cnv;*.] представляют собой не что иное, как компоненты дифференциала dF. Тем самым утверждение задачи доказано. Вся «хитрость» состоит в том, что полная антисимметричность, присущая оператору d, «изгоняет» из задачи коэффициенты аффинной связности. «Покомпонентное» доказательство проводится без особого труда, но более громоздко.
Решение 8.25. В произвольной системе координат ds2 = g-a? dxа dx?.
Поскольку вдоль любой геодезической Xі = const, то вдоль любой геодезической ds2 = g00di2. Но для геодезических ds2=—dx2, поэтому равенство g00 = — 1 выполняется всюду. Пусть еа*— векторы координатного репера и u = d/dx — поле векторов, касательных к геодезическим (т. е. и = е0). Поскольку вектор и ортогонален гиперповерхности Sr, то при T = O
U -е, = е0 ¦ei=goi = 0
я
d (и • Ct)/dx = Vu (и • е,) = 0 + и • VuCi = и • Ve/u.
Здесь мы воспользовались тем, что кривые геодезические (VuU = 0), .а е, и u образуют координатный репер ([е,, u]=0). Но скаляр- 262
РЕШЕНИЯ
Ное произведение U-V6jU равно нулю, т. е.
U- Ve.U =^Vei(U-U) = O, поэтому ВСЮДУ U-Cj = ^oi = O. Решение 8.26.
а) С точки зрения современной дифференциальной геометри» коэффициенты аффинной связности Txliv и Iaiw позволяют покомпонентно описать действие «механизмов», отображающих два вектора и 1-форму в число, т. е.
(число) = = (er, Vvu),
где ковариантная производная взята по той метрике, в которой вычислены коэффициенты аффинной связности Г. Тензор соответствует «механизму», линейному по всем индексам (т. е. по всем его аргументам). Сами по себе коэффициенты аффинной связности. Г или Г не являются тензорами, поскольку
