Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
OO
+
0
CO
+1" j sh3xch X exp (— ? chx) d%.
Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, и
p = nkT.
д) При е = 0 интегралы (1)-(3) можно выразить через модифицированные функции Ганкеля, поскольку
OO
К» (?) = W=T)ii J shanX exP (- ? Ch X)=
?"
^Jnr C d% shw ~ ax ch y?— Pch*.
(2/1 — 3)11 ^
Таким образом, при a = 4ngm3e®h~3
п=аклт,
p = атКг (?)/?a>
р — Зр = OmZCl (?)/?a. ГЛАВА 5
221-
Для р/п точное выражение имеет следующий вид:
p/« = m[K1(?)/*.(?) + 3/?].
Замети^, что ?-»-oo при kT В этом пределе
«.оНЙМ'+ТГ-+-"]-
поэтому
ri+3/(8?) ,ЗІ /, , з kT\
Р/"^ЧТТ15Щ) + Jj=mI1 + 2-иг)-
Поскольку ?-»0, Ki($)/К2(P)-*¦ 0 при/feT>m, тор/л-*-3?7\ Уф! Решение 5.35. Из задачи 5.32 известно, что y = (cv + k)/cv=l+4!~-,
где
?/ (Г) = m {/Сх (?)//C2 (P) + 3/?}, p = m/*T
(см. задачу 5.34).
Это позволяет нам дать точный ответ на вопрос задачи. Заметим, что при kT ^m
U = m + 3kT/2 и 7 = 5/3,
а при кТЪ>т
U = ZkT и у = 4/3. ГЛАВА 5
Решение 6.1
а) По аналогии с полярными координатами введем гиперболические координаты
X = Vchu, x2 — t2 = v*, t =vshu, x/t = cthu.
Тогда
dx2 = (dv ch м + duv sh и)2, dt2 = (dv sh и + duv ch и)2, (1)
dx2-dt2 = dv2-v2du2.
б) Разрешив уравнения (1) относительно du и dv, получим
dv = dx ch и — dt sh и, du = V1 (dt ch и — dx sh u),
откуда для частицы с единичнои массой du . dt .
dx
It
Pu = g««Pa = -V2-^r = -VCh U^r +vshu~ = -x~ + t^r.
dx
Для свободно движущейся частицы х = const -f- -jr t и обе произ-
водные dt/dx, dx/dx постоянны, поэтому
Pa = const _/-?.?. + / e const.
Для вычисления Pv воспользуемся соотношением
_ m2 = P . P = gW {pv)2 +guu (Рц)2 = (PJ2 _ (Pa)2/^
и получим
р* =рз/у2-т2.
Правая часть этого выражения не постоянна, поскольку в общем случае V изменяется вдоль траектории частицы. Можно показать (см. задачу 7.13 или книгу [1], т. 2, стр. 319), что если какой-нибудь коэффициент метрики не зависит от некоторой координаты (в данном случае от и), то соответствующая этой координате компонента ковариантного импульса (в рассматриваемом случае Ptt) сохраняется. ГЛАВА 5
223-
Решение 6.2. Запишем метрику в 4-мерном евклидовом пространстве:
ds2= dxi + dxi + dxi + dx f (1)
и уравнение гиперсферы радиуса R:
xl+xl + xl+xl = R*. (2)
По аналогии с 3-мерным случаем введем координаты на гиперсфере:
X4 = R cos а, X3 = R sin a cos 1O1,
лг2 = /? sin а sin Ф cos ф, (3)
Xi = R sin а sin 1O1 sin q>.
Уравнение (2) выполняется автоматически. Дифференцируя координаты (3) с постоянным радиусом R и подставляя в (1), получаем метрику гиперсферы.
Решение 6.3. а) Введем на поверхности цилиндра (фиг. 12) координаты хну:
х = (р, у = CitgX.
Метрика сферы в этих координатах имеет следующий вид:
. a^dy* a4 dx2 ..
иь —(Ф+у*)* а2 + у*' I1'
Сравнивая с метрикой ds2 = dx2-{-dy2, нетрудно заметить, что наименьшему искажению подвергается окрестность линии у = 0, т. е. полоса вблизи экватора.
б) При стереографической проекции (фиг. 13) рассмотрение несколько облегчается, если ввести обычный полярный угол 0=90° — А. Пусть (Ф, ф) —координаты точки на сфере, a (1O10, ф0)— сферические координаты спроектированной точки. Ясно, что ф0 = ф- Расстояние от оси до спроектированной точки равно р = 2а tg ($/2), поэтому удобно ввести координаты
х = р cos р = 2а tg у cos ф, 2
у = р sin ф = 2а tg-s- sin ф.
Нетрудно проверить, что
ds2 = a2 (dfl2 + sin2 й <іф2) = cos4( у J (dx2 + dy2). 224
РЕШЕНИЯ
Наименьшему искажению подвергается окрестность северного
поскольку (ds2)сфера — g(ds2)карта, где g — некоторая функция [в рас-смотренном случае g = cos* (Ф/2)]. Конформная проекция сохраняет углы (см. задачу 6.7).
Решение 6.4.
а) Предположим, что мы передвигаемся по поверхности земного шара вдоль некоторой кривой <р = <р(Ф). Стрелка компаса образует а направлением движения угол г|), определяемый соотношением
tg* = Sin^. (1)
(Угол i|> измеряется от оси у по часовой стрелке.) На карте мы получим
?_„(» + !)__.?. (2,
Из соотношений (1) и (2) следует
дх і дх dy
¦ Д dcP dx/d& d» + Ify rf» Sln W d# = dy/db = ду_ dy_ dq3 '
db + dtp do
ein A- dx dx^- m
+ <?<p doj d# smw--do~d<pdo' (o} ГЛАВА 5
225-
Поскольку соотношение (3) должно выполняться в рассматриваемой точке при любом значении dy/dft, то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях производной dy/dft в правой и левой частях, получим
ду/дФ = 0, у = у(Ь), (4)
алг/а-о-=о, х=х(ц>), (5)
- sin ft ду/д® = дх/д<р. (6)
Из (4) и (5) следует, что левая часть соотношения (6) зависит только от ft, в то время как правая зависит только от ф, поэтому каждая часть этого соотношения должна быть постоянной, которую мы полагаем равной 1. Таким образом, в проекции Меркатора отображение осуществляется по формулам
* = Ф, У—^-Щ- = Inctg^. (7)
б) Выберем для удобства радиус равным 1. Тогда
ds2 = dft2 + sin2 ft гіф2 = = sin2®(dx2 + dy2) =
= sech2 у (dx2 + dy2). (8)
