Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 7.25. Запишем уравнение Эйлера — Лагранжа в общем виде:
0 _ d?F dy_ ду_ , dF_ Г^ / ду_ _ ду_\] dy* ds дх dy Lds \ дх дх /J'
Поскольку dy/ds = 0 (s —аффинный параметр) и dF/dy ф 0, то это уравнение совпадает с уравнением Эйлера — Лагранжа для A^yds = 0. ГЛАВА JO
Решение 8.1.
а) Ключевые соотношения:
(Sxa, д/дх$) = Sxa ¦ д/дх* = бар, (д/дха) ¦ (d/dxV)=ga$ и • Ответы:
1, 0, gou g01, g00.
б) Вектор glad/dxa =SglaCa соответствует dx1, поскольку для любого вектора v
V • glaea = . g^ta = U%agla = = V1 = (Sx1, v>.
Решение 8.2. Нетрудно видеть, что / = /", т. е. d/ = dr, поскольку
t*) = (Sr, er) = l, {dr, e^) = /-1^ ee) = 0. Пусть существует функция g, такая, что Sg = G>®. Тогда 0 = <dg, e;) = <dg, cr) = dg/dr, 1 = <$?. > = r-i <dg, ed> = r-i og/dft.
Ясно, что условия dg/dr = О и dg/d® = r несовместимы.
Решение 8.3. В декартовом координатном репере это условие сводится к равенству OiJ = Ojii. Оно эквивалентно не зависящему от выбора базиса требованию обращения в нуль ротора поля о (векторного эквивалента поля с).
Решение 8.4. Выберем базис S1, ..., <&N. Любую р-форму можно представить в виде суммы
А «/•••),
І.І
где в каждом слагаемом член в скобках содержит ровно р базисных форм. Поскольку внешнее умножение и сложение дифференциальных форм дистрибутивны, то тождество достаточно доказать •250
РЕШЕНИЯ
для мономиальных р- и 0-форм и вычислить, например, произведение
(S1 Д S2 Д ... Д Sp) Д (Si- Д S2' Д ... Д &„-).
Поскольку внешнее умножение ассоциативно, то скобки можно опустить. Переставляя последовательно дифференциальную форму Sc с формой, стоящей слева от нее, переведем Si- на крайнее слева место. Каждая перестановка приводит к появлению одного знака минус, поэтому после выполнения всех перестановок возникнет множитель (—1 )р. Затем переведем дифференциальную форму S2- на второе место слева. Это приведет к появлению еще р знаков минус. Продолжая переставлять дифференциальные формы S', мы в конце концов дойдем до множителя S17'. Когда эта форма займет q-e место слева, знак изменится pq раз. Тем самым требуемое тождество доказано.
Решение 8.5. Эквивалентность обоих определений дифференциала р-формы мы докажем, если установим, что в произвольном координатном репере компоненты дифференциальной формы dQ, вычисленные на основе обоих определений, совпадают. Запишем каждое из определений при помощи ковариантной производной. Пусть компоненты формы Q равны
fi<x?...Y = ?[a?...V] (Р ИНДЄКСОВ).
Тогда компоненты дифференциальной формы dQ равны Q[a?... v;«] = ^[a?... V. O] ~ re[aeQ8?... у] —
— Ге [Рбйеа... V] — • • • — Ге [ye^a? ...є] = %x?... Y, «]• (1)
{Члены с символами Кристоффеля Г обращаются в нуль, поскольку в координатном репере Гй[Уа] = 0.) Обратимся теперь к другому определению:
Q = Qap...v JKe Д Sx* Д ... Д Sxy.
По- свойству 2 внешнее дифференцирование d не нарушает соглашения о суммировании по повторяющимся индексам, поэтому
dQ = (dQa?...v) Д Д Д ... Д &v) +
+ Qap... vd Д Д ... (2)
|мы воспользовались здесь свойством 4 при р = 0, поскольку ?2a?... у представляет собой скалярную функцию (0-форму)]. Из свойства 1 известно, что для любой 0-формы /
аг=
а из свойства 3 следует
<d/, д/д^} = </,aKa, д/а^>=/,р, ГЛАВА 9
251'
откуда
d^a?... у = •
Второе слагаемое в правой части соотношения (2) обращается в нуль: по свойству 4 его можно разложить в сумму членов, каждый из которых содержит ddx, а по свойству 5 ddx = 0. Следовательно, соотношение (2) преобразуется к виду
dQ = Qa?...Y,e<?cO Д dxa А А& A... A
Поскольку dQ есть (р+1)-форма (свойство 1) и внешнее произведение антисимметрично, то компоненты dQ равны ?2[a?... б]> т. е. совпадают с компонентами, заданными соотношением (1).
Решение 8.6. Пусть
g= X1Ijax1, X2.....X")diJ.
Тогда ? = и
d? = g, і dx1 A Sx2 = g,! Sx1 A dx2+g. з &c3 A + • • -
Ho
?.1 = ^/(6*1, *2.....*n)dgj +1*1^'?*1, .....x")d^t
где P означает производную по первому аргументу. Второе слагаемое в правой части, интегрируя по частям, можно преобразовать следующим образом :
і L
і
J X1Ini*1, .....x")dl=jl^f(lx\ X2.....x")d| =
-у a»1, *2.....G*1. Xа.....X")di,
о
поэтому
g.I = If0х\ X2, ..., X»)IJ =ZtX1, Xs.....X").
Поскольку da = 0, то
da=/, з dx3 A dx1 A dx2+/, 4 dx4 A dx1 А <Ьс2+... = 0.
Это равенство может выполняться лишь в том случае, если /(8 = = /,4 =/,8 = " .=An = O, поэтому
g.» ^j/.itt*1, -*2.....= •252
РЕШЕНИЯ
Аналогичным образом доказывается цепочка git = =... = g,„ = 0. Окончательно получаем
d? = ^jdi1Adi2 = /(*1, X2, ..., x^dx1 A Sx2 = ее.
Решение 8.7. Тензору Максвелла соответствует 2-форма
F = Ftiv^Adiv,
лоэтому равенство нулю ее внешнего дифференциала
0 = dF = Fl4vi * Si^AditiA Siv дает уравнения Максвелла
F[nV; ?.] = 0. Аналогично из d*F = 0 получаем
* F[ка-. V] = 0.
Последние равенства эквивалентны (см. задачу 3.25) следующим:
0 = env*.<T * v = 2 * * fiw. v = _ 2v,
и мы приходим к недостающим уравнениям Максвелла
