Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Г** = **» (у gm. г) = I-
Решение 7.3.
а) Уравнение геодезических имеет вид
Используя результаты, полученные в решении 7.2, получаем
dv _ /dft \а
ds* ~r\ds ) '
ds2 + г \ ds / \ ds J Поскольку из метрики следует, что (dr/ds)2 + r2(d®/ds)2= 1,
то
Ь^ІІ _ ,24- 9r (*L\ _ ds _ ds L ds J ds2 \ ds J \ ds J
и, таким образом,
Я.=const.
б) Из найденного в п. «а» первого интеграла получаем
\do ds ; ^r \ ds )
Подставляя dft/ds = R0Zr2 (R0 — некоторая постоянная), приходим к уравнению
(ж)2+'2='1'*»-
в) Поскольку уравнение прямой (фиг. 14) имеет вид
г = Llcos (ft —а),234
РЕШЕНИЯ
ТО
dt _ sin (А — a) ,
~dW ~ cosa (А — a) L'
(JL)2 , r2_/2ГJn4d-a) 1 1 _
La
cos« (A — o)
r*
La "
Таким образом, все прямые удовлетворяют уравнению геодезических.
1
Фиг. 14.
Решение 7.4. Отличны от нуля лишь производные метрического тензора gXXti =— gtt.t = — 2/t3. Следовательно, в нуль не обращаются лишь коэффициенты связности
Vttt = I/*3, Txxt = Txtx = - Ttxx = - 1//S.
Чтобы найти геодезические, проще всего воспользоваться их определением как кривых экстремальной длины. Пусть x(t)— геодезическая. Тогда (точка означает дифференцирование d/dt}
0 = 6 J (ds2)'/» = 6
Уравнение Эйлера — Лагранжа для отыскания этого экстремума имеет вид
J- Г_?_1 = 0.
Оно легко решается, если положить thftssj«
shA
откуда
= const,ГЛАВА 5
235-
Таким образом, геодезическими служат гиперболы, асимптотически стремящиеся к световому конусу (фиг. 15).
Фиг. 15.
Решение 7.5. Вычислим gap!V в координатном репере:
gap; V = ga?, V — gopr°av — gaul^y = = gap,Y- 2Г(ра)7 = = gap, у — gap, V = O-
Решение 7.6. В координатном репере
r^ = y(gav,Jt + gaX.v-gv^a)g,ia- (1)
а) Если метрика диагональна, то индекс а должен быть равен индексу р.. Но поскольку (X^ V^ Я, то в (1) все члены в круглых скобках обращаются в нуль.
б) Полагая в (1) V = A,, находим
TliU = у (gou, X + gaK К — gU. a) gm»
¦откуда
TliU =--2~gu, a^a =--2"gw., O {gmY1 — — У (gwi)"1 gu,
Здесь мы дважды воспользовались диагональностью метрики [т. е. тем, ЧТО ^a = (gixa)1]-
в) Г^цх = у (gan, H- gaX, ц g|A, a) (gna)-1 =
= у (gm)'1 (gwi, х) = ^r (In (I gm Iv')).
г) Полагая в п. «в» А = ц, получаем
r,V=iar0n (IgwI'/.)).236
РЕШЕНИЯ
Решение 7.7.
a) gad. Y = Vv (еа • ер) = (Vvea) • ер + ea • ( Vvep) =
= ер + Г Vv ea == — Tpav + rapv.
g«H, vg^+gcqig^.Y=0. ЙЧі^.у = —gan. ygrt.
в) gafi, Y = - gx^g^ = - (IVv + SvYa =
(Здесь мы воспользовались результатом, полученным в п. «а».)
г) Для любой матрицы |!gap |
(In det II ga? !),„ = Sp |l ga,JI -1 Il g^v, a I,
поэтому
(lng),a = g*lvgnv, a
и
Наконец, используя соотношение, доказанное в п. «б», получаем
g,a = gg^g?v, а = — ggnvg^, a-
д) В координатном репере
Г^р = у g?V ? + gv?, a - ga?. v),
а поскольку два последних члена компенсируются, то
raa?=4-g«vgva,?.
Заменяя сумму в правой части на g,p/g (см. соотношение, выведенное в п. «г»), находим
Ilaap = у g.?/g = у (In I g\U = (In I g
е) ^vFxliv = —ga?, ? — = (полагая в п. «в» ? = у и
суммируя)
= — ga?,? — (In Ig I '7jUgta= (по доказанному в п. «д») = — gav, у — (In I g IvO1Vgav = (заменяя немые индексы) = -gaV.v-IgIAvgavIgI"^ =
= --W, CgavIgJ1HvГЛАВА 5
237-
ж) Л% = Л«, а + PVlp = Л» „ + -L- = (ПО дока
Igl"
занному в п. «д»
з) AJ-S = + -TKfiAJ =
= V. р+ ^ (I g П„Аа» - Г W = = ^(IgWb-TV^.
и) А% = Ла% + =
= Л«?, ? + PWЛМР + -I77 (I g I'/.) ^ =
Ig!
і gl1/2
Но в координатном репере Totllfl = Га(цр), поэтому если то последний член обращается в нуль и
к) DS = (S,a^);|i = ^ (I g (Здесь мы воспользовались соотношением, доказанным в п. «ж».)
Решение 7.8. При преобразовании координат тензор Лрд, переходит в тензор
^v дх» dxv
поэтому
Л = detA] det Mliv) det /^CY = PA,
где J = det (дхР/дхй) — якобиан преобразования, а верхний индекс T означает транспонированную матрицу. Мы хотим, чтобы кова-риантная производная Л;с5 преобразовывалась как векторный аналог закона преобразования величины Л (называемой «плотностью веса 2»). Поскольку ковариантная производная А;а должна быть линейна по Л, то
Л;а = ЛiCt -j- KaA,
где Ka- неопределенные коэффициенты. Найти их мы можем, потребовав, чтобы определитель метрического тензора g имел238
РЕШЕНИЯ
нулевую ковариантную производную:
О = g;a = g.a + Kag = 2gT*fa + Kag
(последнее равенство следует из задачи 7.7). Тогда
Ka = -2IV
Обобщение для плотностей веса W (приобретающих под действием преобразования координат множитель Jw) можно получить, рассматривая степени определителя g. Оно имеет вид
Ka = -WT^a.
Решение 7.9. Геодезическая с касательным вектором и про-странственноподобна, изотропна или времениподобна в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен скалярный квадрат u u. Но и-и сохраняется вдоль геодезической, поскольку уравнение геодезической можно представить в виде V11U = O, и поэтому