Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 69

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 152 >> Следующая


Г** = **» (у gm. г) = I-

Решение 7.3.

а) Уравнение геодезических имеет вид

Используя результаты, полученные в решении 7.2, получаем

dv _ /dft \а

ds* ~r\ds ) '

ds2 + г \ ds / \ ds J Поскольку из метрики следует, что (dr/ds)2 + r2(d®/ds)2= 1,

то

Ь^ІІ _ ,24- 9r (*L\ _ ds _ ds L ds J ds2 \ ds J \ ds J

и, таким образом,

Я.=const.

б) Из найденного в п. «а» первого интеграла получаем

\do ds ; ^r \ ds )

Подставляя dft/ds = R0Zr2 (R0 — некоторая постоянная), приходим к уравнению

(ж)2+'2='1'*»-

в) Поскольку уравнение прямой (фиг. 14) имеет вид

г = Llcos (ft —а), 234

РЕШЕНИЯ

ТО

dt _ sin (А — a) ,

~dW ~ cosa (А — a) L'

(JL)2 , r2_/2ГJn4d-a) 1 1 _

La

cos« (A — o)

r*

La "

Таким образом, все прямые удовлетворяют уравнению геодезических.

1



Фиг. 14.

Решение 7.4. Отличны от нуля лишь производные метрического тензора gXXti =— gtt.t = — 2/t3. Следовательно, в нуль не обращаются лишь коэффициенты связности

Vttt = I/*3, Txxt = Txtx = - Ttxx = - 1//S.

Чтобы найти геодезические, проще всего воспользоваться их определением как кривых экстремальной длины. Пусть x(t)— геодезическая. Тогда (точка означает дифференцирование d/dt}

0 = 6 J (ds2)'/» = 6

Уравнение Эйлера — Лагранжа для отыскания этого экстремума имеет вид

J- Г_?_1 = 0.

Оно легко решается, если положить thftssj«

shA

откуда

= const, ГЛАВА 5

235-

Таким образом, геодезическими служат гиперболы, асимптотически стремящиеся к световому конусу (фиг. 15).

Фиг. 15.

Решение 7.5. Вычислим gap!V в координатном репере:

gap; V = ga?, V — gopr°av — gaul^y = = gap,Y- 2Г(ра)7 = = gap, у — gap, V = O-

Решение 7.6. В координатном репере

r^ = y(gav,Jt + gaX.v-gv^a)g,ia- (1)

а) Если метрика диагональна, то индекс а должен быть равен индексу р.. Но поскольку (X^ V^ Я, то в (1) все члены в круглых скобках обращаются в нуль.

б) Полагая в (1) V = A,, находим

TliU = у (gou, X + gaK К — gU. a) gm»

¦откуда

TliU =--2~gu, a^a =--2"gw., O {gmY1 — — У (gwi)"1 gu,

Здесь мы дважды воспользовались диагональностью метрики [т. е. тем, ЧТО ^a = (gixa)1]-

в) Г^цх = у (gan, H- gaX, ц g|A, a) (gna)-1 =

= у (gm)'1 (gwi, х) = ^r (In (I gm Iv')).

г) Полагая в п. «в» А = ц, получаем

r,V=iar0n (IgwI'/.)). 236

РЕШЕНИЯ

Решение 7.7.

a) gad. Y = Vv (еа • ер) = (Vvea) • ер + ea • ( Vvep) =

= ер + Г Vv ea == — Tpav + rapv.

g«H, vg^+gcqig^.Y=0. ЙЧі^.у = —gan. ygrt.

в) gafi, Y = - gx^g^ = - (IVv + SvYa =

(Здесь мы воспользовались результатом, полученным в п. «а».)

г) Для любой матрицы |!gap |

(In det II ga? !),„ = Sp |l ga,JI -1 Il g^v, a I,

поэтому

(lng),a = g*lvgnv, a

и

Наконец, используя соотношение, доказанное в п. «б», получаем

g,a = gg^g?v, а = — ggnvg^, a-

д) В координатном репере

Г^р = у g?V ? + gv?, a - ga?. v),

а поскольку два последних члена компенсируются, то

raa?=4-g«vgva,?.

Заменяя сумму в правой части на g,p/g (см. соотношение, выведенное в п. «г»), находим

Ilaap = у g.?/g = у (In I g\U = (In I g

е) ^vFxliv = —ga?, ? — = (полагая в п. «в» ? = у и

суммируя)

= — ga?,? — (In Ig I '7jUgta= (по доказанному в п. «д») = — gav, у — (In I g IvO1Vgav = (заменяя немые индексы) = -gaV.v-IgIAvgavIgI"^ =

= --W, CgavIgJ1Hv ГЛАВА 5

237-

ж) Л% = Л«, а + PVlp = Л» „ + -L- = (ПО дока

Igl"

занному в п. «д»

з) AJ-S = + -TKfiAJ =

= V. р+ ^ (I g П„Аа» - Г W = = ^(IgWb-TV^.

и) А% = Ла% + =

= Л«?, ? + PWЛМР + -I77 (I g I'/.) ^ =

Ig!



і gl1/2

Но в координатном репере Totllfl = Га(цр), поэтому если то последний член обращается в нуль и

к) DS = (S,a^);|i = ^ (I g (Здесь мы воспользовались соотношением, доказанным в п. «ж».)

Решение 7.8. При преобразовании координат тензор Лрд, переходит в тензор

^v дх» dxv

поэтому

Л = detA] det Mliv) det /^CY = PA,

где J = det (дхР/дхй) — якобиан преобразования, а верхний индекс T означает транспонированную матрицу. Мы хотим, чтобы кова-риантная производная Л;с5 преобразовывалась как векторный аналог закона преобразования величины Л (называемой «плотностью веса 2»). Поскольку ковариантная производная А;а должна быть линейна по Л, то

Л;а = ЛiCt -j- KaA,

где Ka- неопределенные коэффициенты. Найти их мы можем, потребовав, чтобы определитель метрического тензора g имел 238

РЕШЕНИЯ

нулевую ковариантную производную:

О = g;a = g.a + Kag = 2gT*fa + Kag

(последнее равенство следует из задачи 7.7). Тогда

Ka = -2IV

Обобщение для плотностей веса W (приобретающих под действием преобразования координат множитель Jw) можно получить, рассматривая степени определителя g. Оно имеет вид

Ka = -WT^a.

Решение 7.9. Геодезическая с касательным вектором и про-странственноподобна, изотропна или времениподобна в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен скалярный квадрат u u. Но и-и сохраняется вдоль геодезической, поскольку уравнение геодезической можно представить в виде V11U = O, и поэтому
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed