Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
РЕШЕНИЯ
Решение 5.29. Равновесное состояние достигается, когда прекращается производство энтропии, поэтому соотношение
VT
-q-a = Tq
должно выполняться для любого потока тепла q (см. задачу 5.28). Оно означает, что а = — V In Т. Решение этого уравнения имеет вид
In T = — а • X+const,
или
T = T0 ехр (—а-х).
Решение 5.30. Поскольку
T^ua = - р«Р,
то члены, соответствующие потоку энергии, отсутствуют. Следовательно, q = 0 и S==Zisu. Таким образом, скорость производства энтропии равна
5«; a = (Z1Ua); а' + П g
[второе равенство получено из закона сохранения числа барионов V-(гаи) = 0]. Используя первое начало термодинамики
dp _р + pdn , n~ds dx п dx' dx
и закон сохранения барионов
а= dx
скорость производства энтропии можно представить в виде
Чтобы выразить правую часть через коэффициенты вязкости, возьмем дивергенцию вектора TapMa:
- (P"?); ? = - § - РО = (T-Ha), р = T^Ua, р.
Величину Ta?ua;p можно вычислить, используя тензор энергии-импульса для вязкой жидкости и разложение для Ua; р, приведенное в задаче 5.18. Член Ta?coap обращается в нуль вследствие симметрии, а член TapOaUp — вследствие того, что TctpUp ~ Ua. Остается лишь член
T^ua-, р = [puauP + (р- ?0) Pa-? - [aa? +1 о Л*р] = ГЛАВА 5
217-
[Здесь мы воспользовались легко проверяемыми соотношениями UaOafi = 0, PopOap = O, PafiPa Р = 3].
Итак,
^+ # (Р+Р) = 2^(^ + ^*.
Подставляя это соотношение в выведенную выше формулу для Sa-а, получаем требуемое выражение.
Решение 5.31. Как известно, проектирование Ta?, ? на Ua приводит к уравнению локального закона сохранения энергии. Чтобы получить уравнение движения жидкости, спроектируем тот же тензор на подпространство, ортогональное вектору иа:
О = PVaT**, р = Р\ (р, + р иа, р«Р + р «a«?, р + р, pP«? +
+pPa?, ? - 2rj, ?aa? - 21)0^, ? -1, - ?P«? - ?§Pa?, ?).
Воспользуемся следующими тождествами: P\ua = О,
P\Ua, ? = «\? + U^UaUa, ? = u\ ?, pyapa$ _
PYaOaP S= orV?,
PVoapip = ov?)? + MvMaOaP. ? = av?>? - «V„a> ?0a? =
= Ovpip-MvOapOaP; в результате спроектированные уравнения движения примут вид О = (р+р) «viP«?+piPPa? - 2 (T)av? + ^Pvp),Р + + 2r]«vaa?craP + ^ft2Uy. (1)
В нерелятивистском пределе
1, p = 0(v2), р = 0(1).
Разлагая /-ю компоненту уравнения (1) в ряд и сохраняя лишь члены порядка 0(и2), получаем уравнение
0 = P (»О + iVft) +Pj-
- [л (»/.* + о*./ - у 6/ftum.m)]ft + (&m.>»)j
(уравнение Навье — Стокса).
Решение 5.32, Для идеального газа Максвелла — Больцмана
p = nkT, (1)
р/п = U (T). (2) 218
РЕШЕНИЯ
Уравнение (2) означает, что энергия, приходящаяся на одну частицу, зависит лишь от температуры. Из первого начала релятивистской термодинамики
Tds = d (р/п) + pd (1 /п) =
= WdT + Pd(j) О)
следует, что
с (4)
Запишем уравнение (1) в дифференциальной форме:
pd(±) + ±dp = kdT, (5)
тогда уравнение (3) примет вид
Tds = (-^- + k)dT-\dp (6)
и мы получим
CP = W +k = °v + k. (T)
Показатель адиабаты Г, найдем из уравнения (1):
п dT
г — d^np
1 d In я
s~~l+ T dn
(8)
Из уравнения (3) мы заключаем, что при s = const
dT р _, T . ,Г /Q.
Наконец, подставляя соотношение (9) в (8), находим
T1= = Y-
Решение 5.33* Из задачи 5.32 известно, что
г _ д\пр I din л Ij'
поэтому если Y = COnst, то
P = КпУ.
Для адиабатического процесса первое начало термодинамики можно записать в виде
dp = dn = + КпУ - 1J dn,
или
аг ( ГЛАВА 5
219-
Этому дифференциальному уравнению удовлетворяет функция
р KnV-I
п 7-І
Но p/ft-vm при п 0, поэтому
КпУ
const.
р = тп-
7-і"
Решение 5.34.
а) Скалярные интегралы мы получим, вычислив скалярные произведения различных комбинаций иа и векторного и тензорного интегралов для Jv- и Tliv. Например,
Д = _ J^ = Г Ш*Р = J-C - 4jlT-,
^ J A® J ехр [(P2 + W?)12IkT - О] - є
где g = 2J Произведя подстановку P = msh%, получим
OO
4яgm? P sh8%ch%d% ...
hз J ехр(Pchx-A)-B' v ;
где p = m/kT. Аналогично
P = у Mv+Ы = I J -d*P =
(Рг + т?)'
4ngm*
t T s^4 X <*Х /ОЧ
J exp(?chx-0)-e W
3h?
б
и, наконец,
d*P
р_3р = _g Tvv = т2 («К- ,. -
OO
_ 4ngm4 f Sh2 % dx
~ h> J exp (?ch X-^)-8 ' * '
о
б) Из соотношения (2) следует
, _ Angmi f sh*x d% (? ch % dT/T + ехр (? ch % - ft)
ар ~ 3h» J [ехр (? ch/-oj-e]2
о
Интегрируя по частям, дифференцируя члены sh3xchx и shsx, получаем
. _ 4Tigmi Jl f d% [(3sh2x+4sh"x) ? dT/T + 3sh2-/ch % du] ap~ Ъ№ ? J exp(?chx-o)-8 220
РЕШЕНИЯ
Подставляя вместо интегралов в правую часть их выражения <1) —(3), находим
dp = (p+p) dT/T + nkTdu. (4)
в) Из определения химического потенциала ц следует ф = dp/n + dp/n — (р+р) dn/n2 — sdT — Tds,
но
dp = (р + р) dn/n + nTds,
поэтому
ф = dp/n - sdT = dp/n - (р+р) dT/(nT) + pdT/T.
Последнее равенство мы получили, выразив s через ц. Сравнивая найденное соотношение с (4), имеем
г) При е = 0
? j sh\e-№dX ___ — ,
ShV1W-f5ch5tdX
но
j Sh11 exp (— ? ch X) dx = — J Sh3 x exp (— ? ch %)
