Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
^v = 6 <cos в) t6 ^ - ©<) + в (Ф - - я)] X
'б(г-а) п а» и
т2а
симметричные члены
о о
тб (г — а) а5
О
О
CO^ (г — а)
а? ГЛАВА 5
203-
Решение 5.8. Электростатическое поле для движущегося конденсатора остается равным Е, поскольку электрическое поле, параллельное направлению движения, не изменяется. Вследствие лоренцевского сокращения зазор между обкладками движущегося
конденсатора равен d/y, где Y == (1 — v2) 2. Следовательно, движущийся конденсатор обладает электростатической энергией
E2Ad/8ny<E2Ad/8n.
Давление газа должно быть по абсолютной величине равно (отрицательному) давлению электрического поля Е, т. е. р = Е2/8л. В системе покоя конденсатора ненулевые компоненты тензора энергии-импульса газа равны
T00 = p0, Txx = ТУУ = Т" = E2/8я,
а полная масса покоя конденсатора —
M = E2Ad/8n + p0Ad.
Если конденсатор движется, то плотность энергии газа мы получим, произведя преобразование Лоренца:
TVo' = у2 (joe _j_ ^txx) = у2 (ро + ?2?2/8n).
•Следовательно, полная энергия движущегося конденсатора равна
S = E2A d/8ny + у2 (ро + ?2E2/8n) A d/y = = (VPo + уEiZBn [ 1 /у2 + ?2]) Ad = у (р0 + ?2/8я) Ad = yM.
Решение 5.9. Для простоты воспользуемся координатами Минковского. Для частиц тензор энергии-импульса равен
T част (X) = J^ml] Ut (т,) иї (т і) б4 [х - Xi (т,)] dxt I
и, следовательно,
Твдст, V = ^miJ ufut (d/dxv) б4 [х - Xi (Ti)] dxt. і
Дельта-функция зависит только от X-Xi, поэтому производную d/dxv можно заменить на —д/дхУг Поскольку
u]d/dx!J = d/dxh
то
Тчаст, v = —2 Щ 5 uf (d/dxt) 6і [х - Xi (Ti)] dXi =
I
— S т' $ (dUilIdxi) б4 [х — Xi (Ti)] dxi і
(последнее равенство получено интегрированием по частям). 204
РЕШЕНИЯ
Для і-й частицы
mtdUil dxi = qIFilv (xf) «;.
Сопоставляя это уравнение с ответом задачи 4.7, находим
navCT. v = 2>$ FWibi [х - Xi (т,)] dxi = і
= FlivJix.
Но из задачи 4.15 известно, что
Tliv — Mjrr1FliaFv__Fm 1
* электромаг, V — Vtj 1I 1 1 a,v — 1 Ja»
поэтому
(Тчаст + T электромаг), v = 0-
Решение 5.10. Рассмотрим бесконечно малое число фотонов dN с небольшим разбросом по частоте и положению, движущихся в узком конусе и проходящих за малый интервал времени через, элементарную площадку. По определению
J _ d (энергия) _
Iv--
d (частота) d (время) d [телесный угол] d
площадь
поперечного
сечения
Не ограничивая общности, будем считать, что узкий конус, ограничивающий телесный угол d (телесный угол), внутри которого движутся фотоны, вытянут вдоль оси 2. Тогда
d (энергия) =HvdN,
d (телесный угол) = dv* dvу = d (рх/Е) d (ру/Е) = dpx dpy/hW, d (время) = dz/c = dz,
d (площадь поперечного сечения) = dxdy, d (частота) = d (hv)/h = dp'/h,
поэтому
, dJVAV
dx dy dz dpx dpy dp* '
Плотность частиц в фазовом пространстве dN/d3xd3p лоренц-инвариантна (см. задачу 3.34). Следовательно, и величина /v/v3 также лоренц-инвариантна.
Решение 5.11. Введем в системе отсчета, связанной со звездой, для описания 3-мерного пространства 3-мерные сферические координаты. Тогда тензор энергии-импульса излучения будет ГЛАВА 5
205-
иметь вид
t г ft ф
-1 1 0 0-
1 1 0 0
0 0 0 0
.0 0 0 0_
T^ (г, О, ф) = (LlAnri)
Пусть I —вектор (разумеется, изотропный), ведущий из точки пространства-времени, где был испущен фотон, в точку, где он был воспринят наблюдателем. Если в системе отсчета, связанной со звездой, наблюдатель находится от звезды на расстоянии г, то = г, F = г, = fv = 0. В точке пространства-времени, в которой фотон достигает наблюдателя, тензор энергии-импульса можно представить в виде
I = ILlAn (изв-Е)*]Е®Е,
не зависящем от системы отсчета, где изв — 4-скорость звезды так что при вычислениях в системе отсчета, связанной со звездой U38-E = —г. Зная выражение для тензора энергии-импульса T не зависящее от системы отсчета, нетрудно вычислить поток энер гии, приходящий к наблюдателю. Пусть п = (0, п) — простран ственноподобный вектор, направленный в системе покоя наблюда теля к видимому положению звезды, так что E = (/?,—Rп). Поток энергии, измеренный наблюдателем в своей системе покоя, будет равен
^„абЛ=— TmHi = иш6л -T -П.
Но в этой системе отсчета
U3B• E = (V, yv)-(R, — RJt)= — yR( l+ucosft) и, кроме того,
?-и„абл = — R И In = -R,
поэтому
^набл = LIlAny1 (1 + V COS ft)4 R2].
Этот же результат можно получить, используя ло^енц-инвариант-ность величины 7v/v3 (см. задачу 5.10).
Решение 5.12. Пусть и —4-скорость частицы, I —изотропный 4-вектор, вдоль которого распространяется излучение. Частица поглощает поток 4-импульса —5Л (и-Е)Е, т. е. тензор энергии-импульса излучения равен тензору T = SE®E, умноженному на эффективное сечение частицы и свернутому с ее 4-скоростью (чтобы получить поток в системе покоя частицы). Минус обусловлен сигнатурой —H + +- Временная компонента потока импульса в системе покоя частицы равна 5 Л (и • Е) (и Е) и совпадает с погло- 206
РЕШЕНИЯ
щенной энергией, повторно испущеннои частицеи в виде излучения в своей системе покоя. Таким образом, окончательное изменение 4-импульса равно
